Bài 22 trang 23 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Đề bài

Bài 22. Tìm giá trị của $m$ để hàm số $f\left( x \right) = {{{x^2} + mx - 1} \over {x - 1}}$ có cực đại và cực tiểu.

Hướng dẫn giải

TXĐ: $D = {\mathbb{R}}\backslash \left\{ 1 \right\}$

$f'\left( x \right) = {{\left( {2x + m} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} + mx - 1} \right)} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = {{{x^2} - 2x + 1 - m} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$

$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 - m = 0$ (1)

Hàm số $f$ có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác $1$, tức là

$\left\{ \matrix{ \Delta ' = m > 0 \hfill \cr {1^2} - 2.1 + 1 - m \ne 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m > 0$ .

Vậy $m>0$ thì hàm số $f\left( x \right)$ có cực đại và cực tiểu.