Bài 17 trang 22 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Đề bài

Bài 17. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) $f\left( x \right) = {x^2} + 2x - 5$ trên đoạn $\left[ { - 2;3} \right]$;

b) $f\left( x \right) = {{{x^3}} \over 3} + 2{x^2} + 3x - 4$ trên đoạn $\left[ { - 4;0} \right]$;

c) $f\left( x \right) = x + {1 \over x}$ trên đoạn $\left( {0; + \infty } \right)$;

d) $f\left( x \right) =  - {x^2} + 2x + 4$ trên đoạn $\left[ {2;4} \right]$;

e) $f\left( x \right) = {{2{x^2} + 5x + 4} \over {x + 2}}$ trên đoạn $\left[ {0;1} \right]$;

f) $f\left( x \right) = x - {1 \over x}$ trên đoạn $\left( {0;2} \right]$;

Hướng dẫn giải

a) $D = \left[ { - 2;3} \right];f'\left( x \right) = 2x + 2;f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow  x=- 1 \in \left[ { - 2;3} \right]$

Ta có: $f\left( { - 2} \right) =  - 5;f\left( { - 1} \right) =  - 6;f\left( 3 \right) = 10$.

Vậy: $\mathop {\min \,f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - 2;3} \right]}  =  - 6;\,\,\,\,\,\,\mathop {\max \,f\left( x \right) = 10}\limits_{x \in \left[ { - 2;3} \right]}$.

b)

$D = \left[ { - 4;0} \right];\,f'\left( x \right) = {x^2} + 4x + 3;f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - 1 \in \left[ { - 4;0} \right] \hfill \cr x = - 3 \in \left[ { - 4;0} \right] \hfill \cr} \right.$

Ta có: $f\left( { - 4} \right) =  - {{16} \over 3};f\left( { - 1} \right) =  - {{16} \over 3};f\left( { - 3} \right) =  - 4;f\left( 0 \right) =  - 4$

Vậy $\mathop {\min \,f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - 4;0} \right]}  =  - {{16} \over 3};\,\,\mathop {\max \,f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ { - 4;0} \right]}  =  - 4$.

c) $D = \left( {0; + \infty } \right);f'\left( x \right) = 1 - {1 \over {{x^2}}} = {{{x^2} - 1} \over {{x^2}}}$với mọi $x \ne 0,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1$

$x=1\in \left\{ {0; + \infty } \right.)$

$x=-1\not\in \left\{ {0; + \infty } \right.)$

$\mathop {\min \,\,f\left( x \right) = f\left( 1 \right)}\limits_{x \in \left( {0; + \infty } \right)}  = 2$. Hàm số không đạt giá trị lớn nhất trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$.

d) $D = \left[ {2;4} \right];f'\left( x \right) =  - 2x + 2;f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \notin \left[ {2;4} \right]$

Ta có: $f\left( 2 \right) = 4;f\left( 4 \right) =  - 4$

Vậy $\mathop {\min \,f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ {2;4} \right]}  =  - 4;\,$ $\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ {2;4} \right]}  = 4$.

e)

$D = \left[ {0;1} \right];f'\left( x \right) = {{2{x^2} + 8x + 6} \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}};f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - 1 \notin \left[ {0;1} \right] \hfill \cr x = - 3 \notin \left[ {0;1} \right] \hfill \cr} \right.$

Ta có: $f\left( 0 \right) = 2;f\left( 1 \right) = {{11} \over 3}$

Vậy $\mathop {\min \,f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ {0;1} \right]}  = 2;$ $\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ {0;1} \right]}  = {{11} \over 3}$

f) $D = \left( {0;2} \right];f'\left( x \right) = 1 + {1 \over {{x^2}}} > 0$ với mọi $x \in \left( {0;2} \right];f\left( 2 \right) = {3 \over 2}$

$\mathop {\,\max f\left( x \right)}\limits_{x \in \left[ {0;2} \right]}  = {3 \over 2}$ . Hàm số không đạt giá trị nhỏ nhất trên $\left( {0;2} \right]$.