Bài 82 trang 108 SGK Toán 8 tập 1
Đề bài
Cho hình 107, trong đó ABCD là hình vuông. Chứng minh rằng tứ giác EFGH là hình vuông.
Hướng dẫn giải
Áp dụng: +) Dấu hiệu nhận biết hình thoi: Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau là hình thoi.
+) Dấu hiệu nhận biết hình vuông: Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.
Lời giải chi tiết
Các tam giác vuông AEH,BFE,CGF,DHG có:
AE=BF=CG=DH (1) (gt)
Theo giả thiết ABCD là hình vuông nên AB=BC=CD=DA (2) (tính chất hình vuông)
Mà: AH=AD−DH,BE=AB−AE,CF=BC−BF,DG=DC−CG (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra AH=BE=CF=DG
Nên ∆AEH=∆BFE=∆CGF=∆DHG (c.g.c)
Do đó
HE=EF=FG=GH ( các cạnh tương ứng)
⇒ tứ giác EFGH là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi)
và ^EHA = ^FEB (hai góc tương ứng bằng nhau)
Ta có ^HEF=1800−(^HEA + ^FEB)
=1800−(^HEA + ^EHA)
=1800−900=900 (Vì tam giác AHE vuông nên (^HEA + ^EHA)=900)
⇒ Hình thoi EFGH là hình vuông (dấu hiệu nhận biết hình vuông)