Đề thi chính thức vào 10 môn Toán - Chuyên Hải Dương - năm 2017 - 2018 (có lời giải chi tiết)

Câu 1 : 1) Cho 3 số \(x,\;y,\;z\) đôi một khác nhau và thỏa mãn điều kiện: \(x + y + z = 0.\) Tính giá trị của biểu thức: \(P = \frac{{2018\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}}{{2x{y^2} + 2y{z^2} + 2z{x^2} + 3xyz}}.\)2) Rút gọn biểu thức: \(Q = \frac{{1 + ax}}{{1 - ax}}\sqrt {\frac{{1 - bx}}{{1 + bx}}} \) với \(x = \frac{1}{a}\sqrt {\frac{{2a - b}}{b}} \) và \(0 < a < b < 2a.\)

A a) \(P= 2017.\)

b) \(Q = 1.\)

B a) \(P= 2018.\)

b) \(Q = 1.\)

C a) \(P= 2008.\)

b) \(Q = 2.\)

D a) \(P= 2038.\)

b) \(Q = 4.\)

Câu 2 : 1) Giải phương trình: \(x\sqrt {2x + 3} + 3\left( {\sqrt {x + 5} + 1} \right) = 3x + \sqrt {2{x^2} + 13x + 15} + \sqrt {2x + 3} .\)2) Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 4y - 13 + \left( {x - 3} \right)\sqrt {{x^2} + y - 4} = 0\\\left( {x + y - 3} \right)\sqrt y + \left( {y - 1} \right)\sqrt {x + y + 1} = x + 3y - 5\end{array} \right..\)

A 1) \(x = 3;x = \frac{{ - 1 + \sqrt {17} }}{2}\)

2) \(\left( {x;\;y} \right) = \left( {3;\;1} \right).\)

B 1) \(x = 6;x = \frac{{ - 1 + \sqrt {11} }}{2}\)

2) \(\left( {x;\;y} \right) = \left( {3;\;1} \right).\)

C 1) \(x = 3;x = \frac{{ - 1 + \sqrt {7} }}{2}\)

2) \(\left( {x;\;y} \right) = \left( {4;\;1} \right).\)

D 1) \(x = 2;x = \frac{{ - 1 + \sqrt {15} }}{2}\)

2) \(\left( {x;\;y} \right) = \left( {-3;\;1} \right).\)

Câu 3 : 1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: \({x^2} + 5{y^2} - 4xy + 4x - 4y + 3 = 0.\)2) Tìm tất cả các số nguyên dương \(\left( {x;\;y} \right)\) thỏa mãn: \({x^2} + 3y\) và \({y^2} + 3x\) là số chính phương.

A 1) \(\left( {x;\;y} \right) = \left\{ {\left( { - 2; - 1} \right),\;\;\left( { - 6; - 1} \right),\;\left( { - 6; - 3} \right),\;\left( { - 11; - 3} \right)} \right\}.\)

2) \(\left( {x;\;y} \right) = \left\{ {\left( {1;\;4} \right),\;\left( {16;\;11} \right)} \right\}.\)

B 1) \(\left( {x;\;y} \right) = \left\{ {\left( { 3; - 1} \right),\;\;\left( { - 6; - 1} \right),\;\left( { - 6; - 3} \right),\;\left( { - 10; - 3} \right)} \right\}.\)

2) \(\left( {x;\;y} \right) = \left\{ {\left( {2;\;1} \right),\;\left( {16;\;11} \right)} \right\}.\)

C 1) \(\left( {x;\;y} \right) = \left\{ {\left( { 2; - 1} \right),\;\;\left( { 6; - 1} \right),\;\left( { 6; - 3} \right),\;\left( { - 10; - 3} \right)} \right\}.\)

2) \(\left( {x;\;y} \right) = \left\{ {\left( {11;\;1} \right),\;\left( {16;\;11} \right)} \right\}.\)

D 1) \(\left( {x;\;y} \right) = \left\{ {\left( { - 2; - 1} \right),\;\;\left( { - 6; - 1} \right),\;\left( { - 6; - 3} \right),\;\left( { - 10; - 3} \right)} \right\}.\)

2) \(\left( {x;\;y} \right) = \left\{ {\left( {1;\;1} \right),\;\left( {16;\;11} \right)} \right\}.\)

Câu 4 : Cho \(x,\;y,\;z\) là ba số dương thỏa mãn: \(\sqrt {{x^2} + {y^2}} + \sqrt {{y^2} + {z^2}} + \sqrt {{z^2} + {x^2}} = 6.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(M = \frac{{{x^2}}}{{y + z}} + \frac{{{y^2}}}{{z + x}} + \frac{{{z^2}}}{{x + y}}.\)

A \(\frac{{3\sqrt 3 }}{2}\)

B \(\frac{{5\sqrt 2 }}{2}\)

C \(\frac{{3\sqrt 2 }}{2}\)

D \(\frac{{3\sqrt 2 }}{5}\)

Đề thi chính thức vào 10 môn Toán - Chuyên Hải Dươ...