Đề thi chính thức vào 10 môn Toán Trường Phổ Thông Chuyên Hải Dương - Hệ Chuyên (Năm học 2018 - 2019) (có lời giải chi tiết)

Câu 1 : 1) Cho: \(x = a + 1 - \sqrt {1 + {a^2} + \frac{{{a^2}}}{{{{(a + 1)}^2}}}} ,\left( {a > 0} \right);\,\,\,\,\,P = \frac{{\sqrt x + \sqrt {x - 2\sqrt x + 1} + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 1} }}.\) Rút gọn \(P\) theo \(a.\)2) Cho \(x,\,y,\,z\) thỏa mãn: \(x + y + z + \sqrt {xyz} = 4.\)Chứng minh : \(\sqrt {x(4 - y)(4 - z)} + \sqrt {y(4 - x)(4 - z)} + \sqrt {z(4 - x)(4 - y)} - \sqrt {xyz} = 8.\)

A \(1)\,\,P = 2a + 2.\)

B \(1)\,\,P = a + 1.\)

C \(1)\,\,P = 2a + 1.\)

D \(1)\,\,P = a + 2.\)

Câu 2 : Giải phương trình: \(2(x + 1)\sqrt {x + \frac{3}{x}} = {x^2} + 7.\)

A \(S = \left\{ {1;\,\,3} \right\}.\)

B \(S = \left\{ {1;\,\, - 2} \right\}.\)

C \(S = \left\{ {1;\,\,2} \right\}.\)

D \(S = \left\{ {1;\,\,4} \right\}.\)

Câu 3 : Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}3{x^2} + xy - 4x + 2y = 2\\x(x + 1) + y(y + 1) = 4\end{array} \right..\)

A \(\left( {3; - 1} \right);\,\,\left( {\frac{{ - 1 + \sqrt {29} }}{2}; - 2 + \sqrt {29} } \right);\,\,\left( { - \frac{{1 + \sqrt {29} }}{2}; - 2 - \sqrt {29} } \right).\)

B \(\left( { - 1;3} \right);\,\,\left( {\frac{{ - 3 - \sqrt {29} }}{2}; - 4 + \sqrt {29} } \right);\,\,\left( {\frac{{3 + \sqrt {29} }}{2}; - 4 - \sqrt {29} } \right).\)

C \(\left( {0;2} \right);\,\,\left( {\frac{{ - 1 - \sqrt {29} }}{2}; - 2 + \sqrt {29} } \right);\,\,\left( {\frac{{1 + \sqrt {29} }}{2}; - 2 - \sqrt {29} } \right).\)

D \(\left( {1;1} \right);\,\,\left( {\frac{{ - 3 + \sqrt {29} }}{2}; - 4 + \sqrt {29} } \right);\,\,\left( { - \frac{{3 + \sqrt {29} }}{2}; - 4 - \sqrt {29} } \right).\)

Câu 4 : 1) Đặt: \(N = {a_1} + {a_2} + ... + {a_{2018}},\,\,\,M = a_1^5 + a_2^5 + ... + a_{2018}^5\,\,\,\left( {{a_1},{a_2},...,{a_{2018}} \in {Z^ + }} \right).\) Chứng minh rằng nếu \(N\) chia hết cho \(30\) thì \(M\) cũng chia hết cho \(30.\)2) Tìm tất cả số tự nhiên \(n,\,\,k\) để: \({n^8} + {4^{2k + 1}}\) là số nguyên tố.

A \(2)\,\,n = 1,\,\,k = 0\)

B \(2)\,\,n = 1,\,\,k = 1\)

C \(2)\,\,n = 0,\,\,k = 0\)

D \(2)\,\,n = 0,\,\,k = 1\)

Câu 5 : Cho \(a,\,b,\,c\) dương thỏa mãn: \(ab + bc + ca = 1.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P = \frac{{2a}}{{\sqrt {1 + {a^2}} }} + \frac{b}{{\sqrt {1 + {b^2}} }} + \frac{c}{{\sqrt {1 + {c^2}} }} - {a^2} - 28{b^2} - 28{c^2}.\)

A \(Max\,\,P = \frac{{19}}{4}\)

B \(Max\,\,P = - \frac{{19}}{4}\)

C \(Max\,\,P = \frac{{37}}{4}\)

D \(Max\,\,P = - \frac{{37}}{4}\)

Đề thi chính thức vào 10 môn Toán Trường Phổ Thông...