Bài 75 trang 106 SGK Toán 8 tập 1
Đề bài
Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh của một hình chữ nhật là các đỉnh của hình thoi.
Hướng dẫn giải
Áp dụng dấu hiệu nhận biết hình thoi: Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.
Lời giải chi tiết
Giả sử hình chữ nhật ABCD có E,F,G,H lần lượt là trung điểm của AB,BC,CD,DA
Bốn tam giác vuông EAH,EBF,GDH,GCF có:
AE=BE=DG=CG ( = 12AB = 12CD )
HA=FB=DH=CF ( = 12AD=12BC )
Xét ∆EAH và ∆EBF có:
{AE=BE(cmt)ˆA=ˆB=900(gt)AH=BF(cmt)⇒ΔAHE=ΔBEF(c−g−c)
⇒ EH=EF (2 cạnh tương ứng) (1)
Xét ∆HDG và ∆FCG có:
{HD=FC(cmt)ˆD=ˆC=900(gt)DG=CG(cmt)⇒ΔHDG=ΔFCG(c−g−c)
⇒ GH=GF (2 cạnh tương ứng) (2)
Xét ∆AHE và ∆DHG có:
{HA=HD(cmt)ˆA=ˆD=900(gt)AE=DG(cmt)⇒ΔAHE=ΔDHG(c−g−c)
⇒ EH=HG (2 cạnh tương ứng) (3)
Từ (1), (2) và (3) ⇒HE=EF=HG=GF
⇒ EFGH là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi).