Đề thi HK2 môn Toán lớp 11 THPT Chuyên Sư phạm Hà Nội Năm 2018 - 2019 (có lời giải chi tiết)

Câu 1 : Giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{2x - \sqrt {x + 3} }}{{x + 1}}$ bằng:

A $+ \infty$

B $1$

$- \infty$

D $0$

Câu 2 : Cho hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} + 2}}{{x - 2}}$ . Giá trị $f'\left( 1 \right)$ bằng

A 5

B -3

C 4

D -5

Câu 3 : Giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^2} - 3x + 1} \right)$ bằng

A $+ \infty$

$- \infty$

C $- 1$

D $1$

Câu 4 : Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng $2?$

A $\lim \dfrac{{n + 1}}{{2n - 1}}$

B $\lim \dfrac{{1 - 4n}}{{2n + 3}}$

C $\lim \dfrac{{2n + 3}}{{n - 5}}$

D $\lim \dfrac{{{n^2} + 2n + 3}}{{{n^2} - 2n + 2}}$

Câu 5 : Cho hàm số $y = {x^4} - 2{x^2} - 1$ có đồ thị $\left( C \right)$ . Số tiếp tuyến song song với trục hoành của đồ thị $\left( C \right)$ là

A 1

B 2

C 3

D 0

Câu 6 : Hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Tam giác $SAB$ là tam giác đều cạnh $a.$ Mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ vuông góc với mặt đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $BC$ bằng:

A $a$

B $\dfrac{a}{2}$

C $\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$

$\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}$

Câu 7 : Nếu $f\left( x \right) = x\sin x$ thì $f'\left( {\dfrac{{7\pi }}{2}} \right)$ bằng

A $- 1$

B $\dfrac{{7\pi }}{2}$

C $1$

D $7\pi$

Câu 8 : Giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2018} \dfrac{{{x^2} - 2019x + 2018}}{{x - 2018}}$ bằng

A $2020$

B $2017$

C $2019$

D $2018$

Câu 9 : Đạo hàm của hàm số $y = \sqrt {\sin x + 2}$ bằng

A $y' = \dfrac{{\cos x}}{{\sqrt {\sin x + 2} }}$

B $y' = - \dfrac{{\cos x}}{{2\sqrt {\sin x + 2} }}$

C $y' = \dfrac{1}{{2\sqrt {\sin x + 2} }}$

D $y' = \dfrac{{\cos x}}{{2\sqrt {\sin x + 2} }}$

Câu 10 : Giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\cos 2018x - \cos 2019x}}{x}$ bằng

A $0$

B $+ \infty$

C $- \infty$

D $\dfrac{{4037}}{2}$

Câu 11 : Giả sử $M$ là điểm có hoành độ ${x_0} = 1$ thuộc đồ thị hàm số $\left( C \right)$ của hàm số $y = {x^3} - 6{x^2} + 1$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?

Tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ tại $M$ có hệ số góc dương.

Góc giữa tiếp tuyến tại $M$ và trục hoành bằng ${60^0}$ .

Đồ thị $\left( C \right)$ không có tiếp tuyến tại $M$ .

Tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ tại $M$ vuông góc với đường thẳng $\left( d \right):x - 9y = 0$ .

Câu 12 : Với $a$ và $b$ là hai đường thẳng chéo nhau tùy ý, mệnh đề nào sau đây sai?

Tồn tại duy nhất một mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa $b$ sao cho $a \bot \left( P \right)$

$a$ và $b$ là hai đường thẳng phân biệt

Tồn tại duy nhất một mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa $b$ sao cho $a//\left( P \right)$

Nếu $\Delta$ là đường thẳng vuông góc chung của $a$ và $b$ thì $\Delta$ cắt cả hai đường thẳng $a$ và $b.$

Câu 13 : Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {x + 3} - 2}}{{{x^2} - 1}},x > 1\\ax + 2,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \le 1\end{array} \right.$ . Giá trị của $a$ để hàm số liên tục tại $x = 1$ là

A $a = - \dfrac{{17}}{8}$

$a = \dfrac{{15}}{8}$

C $a = - \dfrac{{15}}{8}$

D $a = \dfrac{{17}}{8}$

Câu 14 : Cho hình chóp $S.ABC,D$ là trung điểm của đoạn $SA.$ Gọi ${h_1};{h_2}$ lần lượt là khoảng cách từ $S$ và $D$ đến mặt phẳng $\left( {ABC} \right).$ Tỉ số $\dfrac{{{h_1}}}{{{h_2}}}$ bằng

A $\dfrac{1}{3}$

B $3$

C $2$

D $\dfrac{1}{2}$

Câu 15 : Hình chóp đều $S.ABCD$ có $SA = AB = a$ . Cosin góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SAD} \right)$ bằng

A $\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$

B $- \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$

C $\dfrac{1}{3}$

D $- \dfrac{1}{3}$

Câu 16 : Cho hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{1}{{{x^2} + 1}}$ . Tập nghiệm của bất phương trình $f'\left( x \right) > 0$ là

A $\mathbb{R}$

B $\emptyset$

C $\left( { - \infty ;0} \right)$

D $\left( {0; + \infty } \right)$

Câu 17 : Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a$ . $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC,C'D'$ và $D'A'$ . Khoảng cách giữa hai đường thẳng $MN$ và $PQ$ bằng

A $a$

B $\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}$

C $\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}$

D $a\sqrt 2$

Câu 18 : Đạo hàm của hàm số $y = \sin \left( {{x^3}} \right)$ là

A $y' = 3{x^2}\sin \left( {{x^3}} \right)$

B $y' = 3{x^2}\cos \left( {{x^3}} \right)$

C $y' = 3\cos \left( {{x^2}} \right)$

D $y' = 3{x^2}\cos \left( {{x^2}} \right)$

Câu 19 : Giới hạn $\lim \dfrac{{{{12}^n} - {{11}^n}}}{{{4^n} + {{4.12}^n} + 3}}$ bằng

A $\dfrac{1}{{12}}$

B $\dfrac{1}{4}$

$+ \infty$

D $0$

Câu 20 : Trong không gian cho hai đường thẳng $a,b$ và mặt phẳng $\left( P \right).$ Mệnh đề nào sau đây đúng?

Nếu $a$ và $b$ phân biệt, cùng song song với $\left( P \right)$ thì $a$ và $b$ song song với nhau

Nếu $b$ song song với $\left( P \right)$ và $a$ vuông góc với $\left( P \right)$ thì $a$ vuông góc với $b$

Nếu $a$ và $b$ cùng vuông góc với $\left( P \right)$ thì $a$ và $b$ song song với nhau

Nếu $b$ và $\left( P \right)$ cùng vuông góc với $a$ thì $b$ song song với $\left( P \right)$

Câu 21 : Cho hàm số $y = f\left( x \right) = 2x + \sqrt {3 - {x^2}} .$ Giải phương trình $f'\left( x \right) = 0.$

$x = \dfrac{{3\sqrt {15} }}{5}.$

$x = \dfrac{{2\sqrt {15} }}{5}.$

$x = \dfrac{{2\sqrt {11} }}{5}.$

$x = \dfrac{{2\sqrt {17} }}{5}.$

Câu 22 : Cho hàm số $y = f\left( x \right) = - {x^4} - {x^2} + 6$ . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $d:y = \dfrac{1}{6}x - 1.$

$y = - 6\left( {x - 1} \right) + 4 \Leftrightarrow y = - 6x + 10.$

$y = - 6\left( {x - 1} \right) + 4 \Leftrightarrow y = - 6x - 10.$

$y = - 6\left( {x - 1} \right) + 1 \Leftrightarrow y = - 6x + 10.$

$y = 6\left( {x - 1} \right) + 4 \Leftrightarrow y = - 6x + 10.$

Câu 23 : Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $AB = \sqrt 3 a,AD = a,SA = a$ .a) Chứng minh tam giác $SDC$ vuông.b) Tính góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$ .c) Tính theo $a$ khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$ .

Đề thi HK2 môn Toán lớp 11 THPT Chuyên Sư phạm Hà...