Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Đề số 3 - Chương 3 - Hình học 7

Đề bài

Bài 1: Cho tam giác ABC nhọn. Đường cao AH, vẽ HP vuông góc với AB (P thuộc AB); trên tia đối của tia PH lấy $PM = PH$ , vẽ HQ vuông góc với AC (Q thuộc AC). Trên tia đối của tia QH lấy $QN = QH$. Nối M với N đường thẳng MN cắt AB, AC theo thứ tự tại Ivà K. Chứng minh:
a) $\Delta AMN$ cân.
b) Tia HA là tia phân giác của góc $\widehat {IHK}$. 

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông ở A có $\widehat C = {30^0}$, đường cao AH. Trên đoạn HC lấy điểm D sao cho $H{\rm{D}} = HB$. Từ C kẻ CE vuông góc với AD. Chứng minh:

a) $\Delta AB{\rm{D}}$ là tam giác đều;

b) $AH = CE;$

c) EH // AC.  

Hướng dẫn giải

Bài 1:

a) Ta có $PH \bot AB$ (gt), $PM = PH$ (gt).

Do đó $\Delta MAH$ có đường cao AP đồng thời là đường trung tuyến nên $\Delta AMH$ cân tại A $\Rightarrow AM = AH.$ 
Chứng minh tương tự ta có $\Delta ANH$ cân tại A $\Rightarrow AH = AN.$ 
Do đó $AM = AN.$ Chứng tỏ $\Delta AMN$ cân tại A.

b) AMH cân tại A nên đường cao AP cũng đồng thời là đường trung trực, mà I thuộc  AP nên $IM = IH$; lại có $AM = AH$ (cmt). Do đó $\Delta AIM = \Delta AIH$ (c.c.c) $\Rightarrow {\widehat M_1} = {\widehat H_1}.$ 

Chứng minh tương tự  ta có ${\widehat N_1} = {\widehat H_2}$, mà ${\widehat M_1} = {\widehat N_1}$ ($\Delta AMN$ cân). $\Rightarrow {\widehat H_1} = {\widehat H_2}$ hay HA là tia phân giác của $\widehat {IHK}$.

Bài 2:

a) $\Delta AB{\rm{D}}$ có đường cao AH đồng thời là đường trung tuyến nên $AB{\rm{D}}$ cân.

Có $\widehat B = {60^0}$ (vì $\widehat C = {30^0}$ (gt)).

Do đó $\Delta AB{\rm{D}}$ đều.

b) $\Delta AB{\rm{D}}$ đều (cmt) $\Rightarrow \widehat {BA{\rm{D}}} = {60^0} \Rightarrow \widehat {CA{\rm{D}}} = \widehat C = {30^0}.$

Do đó $\Delta A{\rm{D}}C$ cân tại D $\Rightarrow DA = DC.$

Xét hai tam giác vuông AHD và CED có:

+) $DA = DC$ (cmt);

+) ${\widehat D_1} = {\widehat D_2}$ (đđ);

Vậy $\Delta AH{\rm{D}} = \Delta CE{\rm{D}}$ (cạnh huyền-góc nhọn)

$\Rightarrow AH = CE.$

c) $\Delta AH{\rm{D}} = \Delta CE{\rm{D}}$(cmt) $\Rightarrow H{\rm{D}} = E{\rm{D}}$ (cạnh tương ứng).

Do đó $\Delta DHE$ cân tại D.

Mặt khác $\Delta A{\rm{D}}C$ cân tại D, mà hai tam giác cân này chung đỉnh D

$\Rightarrow \widehat {CHE} = \widehat {ACB} = {30^0}.$

$\Rightarrow$ EH // AC (cặp góc so le trong bằng nhau).