Bài 7 trang 46 SGK Hình học 10

Đề bài

Trên mặt phẳng $Oxy$ cho điểm $A(-2; 1)$. Gọi $B$ là điểm đối xứng với điểm $A$ qua gốc tọa độ $O$. Tìm tọa độ của điểm $C$ có tung độ bằng $2$ sao cho tam giác $ABC$ vuông ở $C$.

Hướng dẫn giải

+) $B$ là điểm đối xứng với $A(a; \, b)$ qua gốc tọa độ $\Rightarrow B\left( { - a; - b} \right).$

+) Tam giác $ABC$ vuông tại $C \Leftrightarrow \overrightarrow {CA}  \bot \overrightarrow {CB}  \Leftrightarrow \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB}  = 0.$

Lời giải chi tiết

Điểm $B$ đối xứng với $A$ qua gốc tọa độ nên tọa độ của $B$ là $(2; -1)$

Tọa độ của $C$ là $(x; 2)$. Ta có: $\vec{CA} = (-2 - x; -1)$

                                                  $\vec{CB} = (2 - x; -3)$

Tam giác $ABC$ vuông tại $C$ $\Rightarrow\vec{CA} ⊥ \vec{CB}\Rightarrow \vec{CA}.\vec{CB} = 0$

$\Rightarrow(-2 - x)(2 - x) + (-1)(-3) = 0$

$\Rightarrow -4 +x^2+ 3 = 0$

$\Rightarrow x^2= 1 \Rightarrow x= 1$ hoặc $x= -1$

Ta tìm được hai điểm   $C_1(1; 2);  C_2(-1; 2)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.