Bài 6 trang 46 SGK Hình học 10

Đề bài

Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho bốn điểm :  $A(7; -3);  \, B(8; 4); \,  C(1; 5); \,  D(0;-2)$.

Chứng minh rằng tứ giác $ABCD$ là hình vuông.

Hướng dẫn giải

$+ )\;\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} AB//DC\\ AB = DC \end{array} \right.$ $\Rightarrow ABCD$ là hình bình hành.

$+ )\;\;\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  = 0 \Rightarrow \overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {AD}$ $\Rightarrow ABCD$ là hình chữ nhật.

$+ )\;AB = AD \Rightarrow ABCD$ là hình vuông.

Lời giải chi tiết

Ta có: $\vec{AB} = (1; 7)$;    $\vec{DC}= (1; 7)$ 

$\Rightarrow \vec{AB} = \vec{DC}\Rightarrow ABCD$ là hình bình hành  (1)

Ta có :

$AB^2={(8 - 7)^2} + {(4 + 3)^2} = 1 + 49$$= 50$ $\Rightarrow AB = 5\sqrt 2$

$A{D^2} = {(0 - 7)^2} + {( - 2 + 3)^2} = 49 + 1$$= 50$ $\Rightarrow AD = 5\sqrt 2$

Suy ra $AB = AD$, kết hợp với (1) suy ra $ABCD$ là hình thoi (2)

Mặt khác $\vec{AB} = (1; 7)$; $\vec{AD} = (-7; 1)$

$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  = 1.( - 7) + 7.1 = 0$$\Rightarrow \vec{AB}⊥\vec{AD}$ (3)

Kết hợp (2) và (3) suy ra $ABCD$ là hình vuông.