Bài 6 trang 106 SGK Đại số 10

Đề bài

Cho $a, b, c > 0$. Chứng minh rằng: ${{a + b} \over c} + {{b + c} \over a} + {{c + a} \over b} \ge 6.$

Hướng dẫn giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số để chứng minh bất đẳng thức.

Lời giải chi tiết

Vế trái bất đẳng thức có thể viết là:

$\begin{array}{l} \frac{{a + b}}{c} + \frac{{b + c}}{a} + \frac{{c + a}}{b} \\= \left( {\frac{a}{c} + \frac{b}{c}} \right) + \left( {\frac{b}{a} + \frac{c}{a}} \right) + \left( {\frac{c}{b} + \frac{a}{b}} \right)\\ = \left( {\frac{a}{c} + \frac{c}{a}} \right) + \left( {\frac{b}{a} + \frac{a}{b}} \right) + \left( {\frac{c}{b} + \frac{b}{c}} \right). \end{array}$

Ta biết với $a, b, c > 0$ áp dụng bất đẳng thức cô-si ta có:

$({a \over c} + {c \over a}) + ({b \over c} + {c \over b}) + ({b \over a} + {a \over b})$$\ge 2.\sqrt {{a \over c}.{c \over a}}  + 2.\sqrt {{b \over c}.{c \over b}}  + 2.\sqrt {{b \over a}.{a \over b}} \\ = 2.1 + 2.1 + 2.1 = 6$

Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c.$

Vậy ${{a + b} \over c} + {{b + c} \over a} + {{c + a} \over b} \ge 6.$