Bài 21 trang 79 SGK Đại số 10 nâng cao

Đề bài

Cho phương trình: kx₂ - 2(k + l)x + k + 1 = 0.

a) Tìm k để phương trình trên có ít nhất một nghiệm dương.

b) Tìm các giá trị của k để phương trình trên có một nghiệm lớn hơn 1 và một nghiệm nhỏ hơn 1

(Hướng dẫn: đặt x= y + 1).

Hướng dẫn giải

a) Với k = 0 ta có: -2x + 1 = 0 $\Leftrightarrow x = {1 \over 2}$   (nhận)

Với k ≠ 0, ta có: Δ’ = (k + 1)² – k(k + 1) = k + 1

Phương trình có ít nhất một nghiệm dương khi P < 0 hoặc phương trình có hai nghiệm dương hoặc phương trình có một nghiệm bằng 0 và nghiệm kia dương.

+ Trường hợp 1: P < 0 ⇔ k(k + 1) < 0 ⇔ -1 < k < 0

+ Trường hợp 2:

$\left\{ \matrix{ \Delta \ge 0 \hfill \cr S > 0 \hfill \cr P > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ k + 1 \ge 0 \hfill \cr {{2(k + 1)} \over k} > 0 \Leftrightarrow k > 0 \hfill \cr {{k + 1} \over k} > 0 \hfill \cr} \right.$

+ Trường hợp 3: x = 0 là nghiệm ⇒ k = -1

Khi đó, phương trình trở thành –x² = 0 ⇔ x = 0

Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm dương khi k > -1

b) Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn:

$\eqalign{ &{x_1} < 1 < {x_2} \Leftrightarrow {x_1} - 1 < 0 < {x_2} - 1 \cr & \Leftrightarrow ({x_1} - 1)({x_2} - 1) < 0 \cr&\Leftrightarrow {x_1}{x_2} - ({x_1} + {x_2}) + 1 < 0 \cr & \Leftrightarrow {{k + 1} \over k} - {{2(k + 1)} \over k} + 1 < 0\cr& \Leftrightarrow {{k + 1 - 2k - 2 + k} \over k} < 0 \cr & \Leftrightarrow {{ - 1} \over k} < 0 \Leftrightarrow k > 0 \cr}$

Ta thấy rằng k > 0 thỏa mãn $Δ = k + 1 > 0$

Vậy giá trị k cần tìm là k > 0