Trong không gian, cho hình chóp $S.ABC$ có \(SA,...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy:

$R = \sqrt {{{\left( {\frac{h}{2}} \right)}^2} + {r^2}}$ với $h$ là độ dài cạnh bên vuông góc với mặt đáy và $r$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

Giải chi tiết:

Ta có: $SA,\;AB,\;BC$ đôi một vuông góc

$\Rightarrow SA \bot \left( {ABC} \right)$ và $\Delta ABC$ vuông tại $B.$

Gọi $I$ là trung điểm của $AC \Rightarrow I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC.$

Khi đó bán kính đường tròn tâm $I$ ngoại tiếp $\Delta ABC:$ $r = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\sqrt {{b^2} + {a^2}} .$

Khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $SABC$ là:  

$R = \sqrt {{{\left( {\frac{{SA}}{2}} \right)}^2} + {r^2}}  = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{b^2} + {c^2}}}{4}}  = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .$ 

Chọn D.