Trong mặt phẳng cho tam giác \(ABC\) và một điểm \...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức đường trung tuyến và BĐT Cô si cho ba số không âm để tìm được GTNN của biểu thức \(T = \frac{{MA}}{a} + \frac{{MB}}{b} + \frac{{MC}}{c}\) .

Giải chi tiết:

Theo công thức độ dài đường trung tuyến, ta có:

\(4{m_a}^2 = 2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2} \Rightarrow 2\left( {{b^2} + {c^2} + {a^2}} \right) = 4{m_a}^2 + 3{a^2} \ge 4\sqrt 3 a{m_a} \Rightarrow a{m_a} \le \frac{{{b^2} + {c^2} + {a^2}}}{{2\sqrt 3 }}\)

Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC,\) khi đó:

\(\frac{{MA}}{a} = \frac{{MA.GA}}{{a.GA}} \ge \frac{{\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {GA} }}{{\frac{2}{3}.\frac{{{b^2} + {c^2} + {a^2}}}{{2\sqrt 3 }}}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{{{b^2} + {c^2} + {a^2}}}\left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GA} } \right)\overrightarrow {GA}  = \frac{{3\sqrt 3 }}{{{b^2} + {c^2} + {a^2}}}\left( {\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GA}  + G{A^2}} \right)\)

Từ đó, suy ra:

\(\frac{{MA}}{a} + \frac{{MB}}{b} + \frac{{MC}}{c} \ge \frac{{3\sqrt 3 }}{{{b^2} + {c^2} + {a^2}}}\left[ {\overrightarrow {MG} \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right) + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}} \right]\)

Lại có: \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 ;G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} = \frac{1}{3}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)

Do đó \(\frac{{MA}}{a} + \frac{{MB}}{b} + \frac{{MC}}{c} \ge \frac{{3\sqrt 3 }}{{\left( {{b^2} + {a^2} + {c^2}} \right)}}\left[ {0 + \frac{1}{3}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)} \right] = \sqrt 3 .\)

Đẳng thức xảy ra khi tam giác \(ABC\) đều, đồng thời \(M\) trùng với trọng tâm của tam giác \(ABC.\)

Chọn  D