Cho tam giác nhọn \(ABC\). Dựng bên ngoài tam giác...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Để chứng minh \(AK = BC\) ta chứng minh \(\Delta EAK = \Delta ABC\) theo trường hợp c.g.c.

    Gọi \(N\) là giao điểm của \(AK\) và \(BC.\) Để chứng minh \(AK \bot BC\) ta chứng minh \(\angle ABN + \angle BAN = {90^0}\).

b) Chứng minh \(M\) là trực tâm tam giác \(KBC\).

Giải chi tiết:

a) Xét tam giác \(KEA\) và tam giác \(ABC\), ta có

\(AE = AB\)

\(EK = AG = AC\)

\(\begin{array}{l}\angle KEA = {180^0} - \angle EAG\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {180^0} - \left( {{{360}^0} - \angle EAB - \angle GAC - \angle BAC} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {180^0} - \left( {{{360}^0} - {{90}^0} - {{90}^0} - \angle BAC} \right) = \angle BAC\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta EAK = \Delta ABC\,\,\,\left( {c.g.c} \right)\)

\( \Rightarrow AK = BC\) và \(\angle ABC = \angle EAK\) (các cạnh và góc tương ứng).

Gọi \(N\) là giao điểm của \(AK\) và \(BC.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\angle ABN + \angle BAN = \angle ABC + {180^0} - \angle EAB - \angle EAK\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \angle ABC + {180^0} - {90^0} - \angle ABC = {90^0}.\end{array}\)

\( \Rightarrow \angle ANB = {90^0} \Rightarrow \angle AN \bot BC \Rightarrow AK \bot BC\,\,\,\,\left( 1 \right).\)

b) Xét tam giác \(KAB\) và tam giác \(CBD\), ta có:

\(BC = AK\)

\(BD = AB\)

\(\begin{array}{l}\angle CBD = \angle ABC + \angle ABD = \angle EAK + {90^0}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \angle EAK + \angle EAB = \angle KAB\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta KAB = \Delta CBD\,\,\,\left( {c.g.c} \right)\\ \Rightarrow \angle CDB = \angle KBA\\ \Rightarrow \angle CDB + \angle KBD = \angle KBA + \angle KBD = \angle ABD = {90^0}.\end{array}\)

\( \Rightarrow CD \bot KB \Rightarrow CM \bot KB\).

Chứng minh tương tự ta được: \(BM \bot KC \Rightarrow M\) là trực tâm của tam giác \(KBC\)\( \Rightarrow KM \bot BC\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\,\,\left( 2 \right) \Rightarrow K,\,\,A,\,\,M\) thẳng hàng.