Tổng các nghiệm dương của phương trình \((1 - \tan...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Biến đổi $\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}$, chuyển về phương trình tích

Giải chi tiết:

Điều kiện: $\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$

$\begin{array}{l}\;\;\;(1 - \tan x)(1 + \sin 2x) = 1 + \tan x\\ \Leftrightarrow \left( {1 - \frac{{\sin x}}{{\cos x}}} \right){\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = 1 + \frac{{\sin x}}{{\cos x}}\\ \Leftrightarrow \left( {\cos x - \sin x} \right){\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = \sin x + \cos x\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left[ {\left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {\cos x + \sin x} \right) - 1} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {\cos 2x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x + \cos x = 0\\\cos 2x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x =  - 1\\2x = k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = m\pi \end{array} \right.\left( {k,\;m \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}$

Các nghiệm đều thõa mãn điều kiện.

Phương trình có nghiệm nhỏ hơn 10 và $\sin x > 0$ là:

$\begin{array}{l} + )\;\left\{ \begin{array}{l}0 <  - \frac{\pi }{4} + k\pi  < 10\\\sin \left( { - \frac{\pi }{4} + k\pi } \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \frac{1}{4} < k < 3,43\\\sin \left( { - \frac{\pi }{4} + k\pi } \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow k \in \left\{ {1;\;3} \right\}\\ + )\;\left\{ \begin{array}{l}0 < m\pi  < 10\\\sin \left( {m\pi } \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < m < 3,18\\{\mathop{\rm sinm}\nolimits} \pi  > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \emptyset \end{array}$

Tổng các nghiệm thõa mãn: $\left( { - \frac{\pi }{4} + \pi } \right) + \left( { - \frac{\pi }{4} + 3\pi } \right) = \frac{{7\pi }}{2}$

Chọn C.