Tìm \(\left( 6k+5;\,\,8k+3 \right)\,\,\left( k\in...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng thuật toán Euclid .

(Bài toán Euclid : Để tìm $\left( {a;b} \right)$ khi $a$  không chia hết cho $b$ ta dùng thuật toán Euclide sau:

$a=b.q+{{r}_{1}}$ thì $\left( {a;b} \right) = \left( {b;{r_1}} \right)$.

$b = {r_1}.{q_1} + {r_2}$ thì $\left( b;{{r}_{1}} \right)=\left( {{r}_{1}};{{r}_{2}} \right)$

${r_{n - 2}} = {r_{n - 1}}.{q_{n - 1}} + {r_n}$ thì $\left( {{r}_{n-2}};{{r}_{n-1}} \right)=\left( {{r}_{n-1}};{{r}_{n}} \right)$

${{r}_{n-1}}={{r}_{n}}.{{q}_{n}}$ thì $\left( {{r}_{n-1}};{{r}_{n}} \right)={{r}_{n}}$

$\left( {a;b} \right) = {r_n}$

$\Rightarrow \left( a;b \right)$ là số dư cuối cùng khác 0 trong thuật toán Euclide.)

Giải chi tiết:

+  Với $k=1$ ta có: $\left( 6k+5;\,\,8k+3 \right)=\left( 11;11 \right)=11$.   

+ Với $k > 1$:

Áp dụng thuật toán Euclid ta có:

$8k+3=6k+5+2k-2$ thì $\left( 6k+5;\,\,8k+3 \right)=\left( 6k+5;\,\,2k-2 \right)$.

$6k+5=\left( 2k-2 \right).3+11$ thì $\left( {6k + 5;\,\,2k - 2} \right) = \left( {2k - 2;11} \right)$

Ta thấy $2k-2$ là số chẵn; 11 là số lẻ nên $\left( 2k-2;11 \right)=1$

Vậy : Với  $k=1$ thì $\left( {6k + 5;\,\,8k + 3} \right) = 11$.

          Với $k > 1$ thì $\left( 6k+5;\,\,8k+3 \right)=1$.