Cho hypebol $(H):{x^2} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1$....

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

$(H):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,\,\,{c^2} = {a^2} + {b^2}$. Tọa độ tiêu điểm ${F_1}( - c;0),\,{F_2}(c;0)$

$\widehat {{F_1}M{F_2}} = {90^0} \Leftrightarrow \overrightarrow {M{F_1}} .\overrightarrow {M{F_2}}  = 0$

Giải chi tiết:

Lấy $M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( H \right) \Rightarrow {x_0}^2 - \frac{{{y_0}^2}}{9} = 1\,\,\,(1)$

$(H):{x^2} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 3\\c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = \sqrt {10} \end{array} \right. \Rightarrow {F_1}( - \sqrt {10} ;0);{F_2}(\sqrt {10} ;0)$

$\Rightarrow \overrightarrow {M{F_1}}  = \left( { - \sqrt {10}  - {x_0}; - {y_0}} \right);\overrightarrow {M{F_2}}  = \left( {\sqrt {10}  - {x_0}; - {y_0}} \right)$

Vì M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông $\widehat { \Rightarrow {F_1}M{F_2}} = {90^0} \Leftrightarrow \overrightarrow {M{F_1}} .\overrightarrow {M{F_2}}  = 0$

$\Leftrightarrow \left( { - \sqrt {10}  - {x_0}} \right).\left( {\sqrt {10}  - {x_0}} \right) + \left( { - {y_0}} \right).\left( { - {y_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow {x_0}^2 - 10 + {y_0}^2 = 0 \Leftrightarrow {x_0}^2 + {y_0}^2 = 10\,\,(2)$

Từ (1), (2) ta có hệ phương trình:  $\left\{ \begin{array}{l}{x_0}^2 - \frac{{{y_0}^2}}{9} = 1\\{x_0}^2 + {y_0}^2 = 10\,\,\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0}^2 = \frac{{19}}{{10}}\\{y_0}^2 = \frac{{81}}{{10}}\end{array} \right.$

Vì $M$ nằm trong góc phần tư thứ II nên $\left\{ \begin{array}{l}{x_0} =  - \sqrt {\frac{{19}}{{10}}} \\{y_0} = \frac{9}{{\sqrt {10} }}\end{array} \right.$. Vậy $M\left( { - \sqrt {\frac{{19}}{{10}}} ;\frac{9}{{\sqrt {10} }}} \right)$.

Chọn: D