Phương trình lượng giác \(\cos 3x - \cos 2x + 9\si...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Biến đổi, đưa phương trình về dạng tích.

- Giải các phương trình lượng giác đã biết cách giải.

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\cos 3x - \cos 2x + 9\sin x - 4 = 0\\
\Leftrightarrow 4{\cos ^3}x - 3\cos x - 1 + 2{\sin ^2}x + 9\sin x - 4 = 0\\
\Leftrightarrow \cos x\left( {4{{\cos }^2}x - 3} \right) + \left( {2{{\sin }^2}x + 9\sin x - 5} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \cos x\left( {4 - 4{{\sin }^2}x - 3} \right) + \left( {2{{\sin }^2}x + 10\sin x - \sin x - 5} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \cos x\left( {1 - 4{{\sin }^2}x} \right) + 2\sin x\left( {\sin x + 5} \right) - \left( {\sin x + 5} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \cos x\left( {1 - 2\sin x} \right)\left( {1 + 2\sin x} \right) + \left( {\sin x + 5} \right)\left( {2\sin x - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {1 - 2\sin x} \right)\left( {\cos x + 2\sin x\cos x - \sin x - 5} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\
x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi
\end{array} \right.\,\,\left( {k \in } \right)\\
\cos x - \sin x + 2\sin x\cos x - 5 = 0\,\,\,\left( * \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)

Giải (*). Đặt \(t = \cos x - \sin x\,\,\left( { - \sqrt 2  \le t \le \sqrt 2 } \right) \Leftrightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{1 - {t^2}}}{2}\).

\(\left( * \right) \Leftrightarrow t + 1 - {t^2} - 5 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - t + 4 = 0\) (Vô nghiệm).

Xét họ nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) thuộc \(\left( {0;3\pi } \right)\) ta có:

\(0 < \dfrac{\pi }{6} + k2\pi  < 3\pi  \Leftrightarrow 0 < \dfrac{1}{6} + 2k < 3 \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{{12}} < k < \dfrac{{17}}{{12}}\). Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \in \left\{ {0;1} \right\} \Rightarrow x \in \left\{ {\dfrac{\pi }{6};\dfrac{{13\pi }}{6}} \right\}\).

Xét họ nghiệm \(x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) thuộc \(\left( {0;3\pi } \right)\) ta có:

\(0 < \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi  < 3\pi  \Leftrightarrow 0 < \dfrac{5}{6} + 2k < 3 \Leftrightarrow  - \dfrac{5}{{12}} < k < \dfrac{{13}}{{12}}\). Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \in \left\{ {0;1} \right\} \Rightarrow x \in \left\{ {\dfrac{{5\pi }}{6};\dfrac{{17\pi }}{6}} \right\}\).

Vậy tổng số nghiệm của phương trình trên là: \(\dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{13\pi }}{6} + \dfrac{{5\pi }}{6} + \dfrac{{17\pi }}{6} = 6\pi \).

Chọn B