Cho tam giác \(ABC\) có đường cao \(AD,\,\,BE,\,\,...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng định lí Ta-lét, định lí Ta-lét đảo, hệ thức lượng trong tam giác vuông chứng minh \(GI,\,\,JG,\,\,IJ\) cùng song song với \(EF\).

Giải chi tiết:

Gọi \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC.\)

Ta có: \(\dfrac{{GB}}{{GF}} = \dfrac{{DB}}{{DC}} = \dfrac{{IB}}{{IE}}\) (Định lí Ta-lét) \( \Rightarrow GI\parallel EF\,\,\,\left( 1 \right)\) (Định lí Ta-lét đảo).

Chứng minh tương tự: \(KJ\parallel EF\,\,\left( 2 \right)\)

Ta có: \(BFEC\) là tứ giác nội tiếp (do \(\angle BFC = \angle BEC = {90^0}\)).

Chứng minh được \(\Delta BHC \sim \Delta FHE\,\,\left( {g.g} \right)\)\( \Rightarrow \dfrac{{HF}}{{HE}} = \dfrac{{HB}}{{HC}}\,\,\left( 3 \right).\)

Xét hai tam giác \(BHD\) và \(CHD\) vuông tại \(D,\) ta có: \(HB = \dfrac{{H{D^2}}}{{HI}},\,\,HC = \dfrac{{H{D^2}}}{{HJ}}\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông).

Thay vào \(\left( 3 \right):\,\,\dfrac{{HF}}{{HE}} = \dfrac{{\dfrac{{H{D^2}}}{{HI}}}}{{\dfrac{{H{D^2}}}{{HJ}}}} = \dfrac{{HJ}}{{HI}} \Rightarrow IJ\parallel EF\,\,\left( 4 \right)\) (Định lí Ta-lét đảo).

Từ \(\left( 1 \right),\,\,\left( 2 \right),\,\,\left( 4 \right) \Rightarrow G,\,\,K,\,\,I,\,\,J\) thẳng hàng (Tiên đề Ơ-clit).