Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Gọi I là trung điểm của $SA$.

Tam giác $SAB,\,\,SAC$ vuông tại $B,C \Rightarrow IS = IA = IB = IC \Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp $S.ABC$.

Gọi $H$ là trung điểm của $BC$. Vì $\Delta ABC$ vuông tại $A \Rightarrow H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

$\Rightarrow IH \bot \left( {ABC} \right)$.

Gọi $R$ là bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp $S.ABC$. Theo bài ra ta có: $\dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{{5\sqrt 5 \pi }}{6} \Leftrightarrow {R^3} = \dfrac{{5\sqrt 5 }}{8} = \dfrac{{\sqrt {125} }}{8} \Leftrightarrow R = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}$

$\Rightarrow IS = IA = IB = IC = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}$.

Xét tam giác vuông $ABC$ có: $BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = 2 \Rightarrow AH = 1$.

Xét tam giác vuông $IAH$ có $IH = \sqrt {I{A^2} - A{H^2}}  = \sqrt {\dfrac{5}{4} - 1}  = \dfrac{1}{2}$.

$\begin{array}{l}{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC = \dfrac{1}{2}.1.\sqrt 3  = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\\ \Rightarrow {V_{I.ABC}} = \dfrac{1}{3}IH.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{12}}\end{array}$

Ta có: $SI \cap \left( {ABC} \right) = A \Rightarrow \dfrac{{d\left( {S;\left( {ABC} \right)} \right)}}{{d\left( {I;\left( {ABC} \right)} \right)}} = \dfrac{{SA}}{{IA}} = 2$

$\Rightarrow \dfrac{{{V_{S.ABC}}}}{{{V_{S.IBC}}}} = 2 \Rightarrow {V_{S.ABC}} = 2{V_{I.ABC}} = 2.\dfrac{{\sqrt 3 }}{{12}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6}$.

Xét tam giác vuông $SAB$ cps $IB = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2} \Rightarrow SA = 2IB = \sqrt 5  \Rightarrow SB = \sqrt {S{A^2} - A{B^2}}  = 2$.

$\Rightarrow {S_{\Delta SAB}} = \dfrac{1}{2}.1.2 = 1$.

Ta có ${V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right).{S_{\Delta SAB}} \Rightarrow d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right) = \dfrac{{3{V_{S.ABC}}}}{{{S_{\Delta SAB}}}} = \dfrac{{3.\dfrac{{\sqrt 3 }}{6}}}{1} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Chọn A.