Tổng các nghiệm của phương trình  \({\sin ^3}x - \...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Đây là dạng phương trình đẳng cấp bậc 3 giữa sinx và cosx, ta có thể giải bằng đưa về dạng tích.

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\;{\sin ^3}x - \sqrt 3 {\cos ^3}x = \sin x{\cos ^2}x - \sqrt 3 {\sin ^2}x\cos x\\ \Leftrightarrow \sin x\left( {{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x} \right) + \sqrt 3 \cos x\left( {{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x + \sqrt 3 \cos x} \right)\left( { - \cos 2x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x + \sqrt 3 \cos x = 0\\\cos 2x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x =  - \sqrt 3 \\2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{3} + m\pi \\x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\end{array} \right.\left( {m,\;k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Phương trình có nghiệm thuộc \(\left[ {0;\;2\pi } \right]\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 \le  - \frac{\pi }{3} + m\pi  \le 2\pi  \Leftrightarrow \frac{1}{3} < m < \frac{7}{3} \Leftrightarrow m \in \left\{ {1;\;2} \right\}\\0 \le \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2} \le 2\pi  \Leftrightarrow  - \frac{1}{2} < k < \frac{7}{2} \Leftrightarrow k \in \left\{ {0;\;1;\;2;\;3} \right\}\end{array} \right.\)

Tổng các nghiệm thuộc  \(\left[ {0;\;2\pi } \right]\)  là:

 \(\left( { - \frac{\pi }{3} + \pi } \right) + \left( { - \frac{\pi }{3} + 2\pi } \right) + \left( {\frac{\pi }{4}} \right) + \left( {\frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{2}} \right) + \left( {\frac{\pi }{4} + \frac{{2\pi }}{2}} \right) + \left( {\frac{\pi }{4} + \frac{{3\pi }}{2}} \right) = \frac{{19\pi }}{3}.\)

Chọn D.