Cho hình chữ nhật \(ABCD.\,\,E\) là một điểm tùy ý...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng tiên đề Ơ-clit, chứng minh \(IE,\,\,IM\) cùng song song với \(AC\).

Giải chi tiết:

Gọi \(I\) là giao điểm của \(MN\) và \(AF.\) Dễ thấy \(ANMF\) là hình chữ nhật (tứ giác có ba góc vuông), suy ra \(I\) là trung điểm \(AF\) \( \Rightarrow IE\) là đường trung bình của tam giác \(AFC\)\( \Rightarrow IE\parallel AC\,\,\left( 1 \right).\)

Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Ta có: \(OI\) là đường trung bình của tam giác \(AFC.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OI\parallel FC\\OI = \dfrac{1}{2}FC\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OI\parallel EF\\OI = EF\end{array} \right.\)\( \Rightarrow OIFE\) là hình bình hành (Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau).

\( \Rightarrow IF\parallel OE \Rightarrow AF\parallel BD \Rightarrow \angle IAM = \angle ODA\) (so le trong).

Mà \(\angle IAM = \angle IMA\) (do \(\Delta IAM\) cân tại \(I\)) và \(\angle ODA = \angle OAD\) (do \(\Delta OAD\) cân tại \(O\)).

\( \Rightarrow \angle IMA = \angle OAD \Rightarrow IM\parallel AO \Rightarrow IM\parallel AC\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow I,\,\,M,\,\,E\) thẳng hàng \(E,\,\,M,\,\,N\) thẳng hàng.