Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương...

Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $\sin 2x + \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) - 2 = m$ có đúng 2 nghiệm thuộc khoảng $\left( {0;\dfrac{{3\pi }}{4}} \right)$ .

$- 3 < m < - 1 + \sqrt 2$

$- 3 < m \le - 1 + \sqrt 2$

$- 1 < m \le - 1 + \sqrt 2$

$- 1 < m < - 1 + \sqrt 2$

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt $t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2} \Rightarrow \sin 2x = {t^2} - 1$ .

Giải chi tiết:

$\sin 2x + \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) - 2 = m \Leftrightarrow \sin 2x + \sin x + \cos x - 2 = m$ .

Đặt $t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2} \Rightarrow \sin 2x = {t^2} - 1$ .

Phương trình trở thành: ${t^2} + t - 3 = m\,\,\left( * \right)$ .

Với $x \in \left( {0;\dfrac{{3\pi }}{4}} \right) \Rightarrow x + \dfrac{\pi }{4} \in \left( {\dfrac{\pi }{4};\pi } \right) \Rightarrow t \in \left( {0;\sqrt 2 } \right]$ .

Dựa vào đường tròn lượng giác ta thấy để phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc $\left( {0;\dfrac{{3\pi }}{4}} \right)$ thì phương trình (*) có 1 nghiệm $t \in \left( {1;\sqrt 2 } \right)$ .