Cho hai biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x  - 5}}{{\sq...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Thay $x = 81$ vào biểu thức $A$ để tính giá trị

b) Rút gọn hai biểu thức$A$ và B sau đó nhân chúng vào với nhau và rút gọn.

c) Xét hiệu $P - {P^2}$ để so sánh.

Giải chi tiết:

Cho hai biểu thức $A = \frac{{\sqrt x  - 5}}{{\sqrt x }}$ và $B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 5}} - \frac{{3\sqrt x }}{{x - 25}}$ với$x > 0,x \ne 25$.

a)      Tính giá trị biểu thức $A$ khi $x = 81$.

Với$x = 81$ ta có$A = \frac{{\sqrt {81}  - 5}}{{\sqrt {81} }} = \frac{{9 - 5}}{9} = \frac{4}{9}$.

Vậy với $x = 81$ ta có$A = \frac{4}{9}$.

b)     Cho $P = A.B$, chứng minh rằng $P = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  + 5}}$

$\begin{array}{l}B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 5}} - \frac{{3\sqrt x }}{{x - 25}}\\\;\;\; = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 5} \right)\left( {\sqrt x  + 5} \right)}} - \frac{{3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 5} \right)\left( {\sqrt x  + 5} \right)}}\\\;\;\; = \frac{{x + 5\sqrt x  - 3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 5} \right)\left( {\sqrt x  + 5} \right)}} = \frac{{x - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 5} \right)\left( {\sqrt x  + 5} \right)}}.\end{array}$

Xét$P = A.B = \frac{{\sqrt x  - 5}}{{\sqrt x }}.\frac{{x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 5} \right)\left( {\sqrt x  + 5} \right)}} = \frac{{\sqrt x  - 5}}{{\sqrt x }}.\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 5} \right)\left( {\sqrt x  - 5} \right)}} = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  + 5}}$.

Vậy $P = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  + 5}}$.

c)      So sánh $P$ và ${P^2}$.

Xét hiệu $P - {P^2} = P\left( {1 - P} \right)$.

Nhận thấy: $\left\{ \begin{array}{l}\sqrt x  + 2 > 0\;\forall x > 0\\\sqrt x  + 5 > 0\;\forall x > 0\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  + 5}} > 0\;\forall x > 0 \Rightarrow P > 0\;\forall x > 0$.                    (1)

Xét $1 - P = 1 - \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  + 5}} = \frac{{\sqrt x  + 5 - \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\sqrt x  + 5}} = \frac{3}{{\sqrt x  + 5}}$.

Vì $\sqrt x  + 5 > 0\;\forall x > 0 \Rightarrow \frac{3}{{\sqrt x  + 5}} > 0\;\forall x > 0 \Rightarrow 1 - P > 0\;\forall x > 0$.                        (2)

Từ (1) và (2)$\Rightarrow P\left( {1 - P} \right) > 0\;\forall x > 0 \Rightarrow P - {P^2} > 0\;\forall x > 0 \Rightarrow P > {P^2}\;\forall x > 0$.

Vậy $P > {P^2}$ với mọi x thỏa mãn  ĐKXĐ.

Chọn đáp án A.