Tam giác \(ABC\) có độ dài ba đường trung tuyến lầ...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

B1: Tính độ dài ba cạnh \(a,b,c\) từ ba phương trình về ba đường trung tuyến \({m_a},{m_b},{m_c}\)

B2: Sử dụng công thức tính \({S_{\Delta ABC}}\)

Giải chi tiết:

Theo đề bài ra ta có hệ pt:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{m_a}^2 = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4} = 81}\\{{m_b}^2 = \frac{{{a^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{b^2}}}{4} = 144}\\{{m_c}^2 = \frac{{{b^2} + {a^2}}}{2} - \frac{{{c^2}}}{4} = 225}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} = 292}\\{{b^2} = 208}\\{{c^2} = 100}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2\sqrt {73} }\\{b = 4\sqrt {13} }\\{c = 10}\end{array}} \right.\)

Ta có: \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{208 + 100 - 292}}{{2.4\sqrt {13} .10}} = \frac{1}{{5\sqrt {13} }}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sin A = \sqrt {1 - {{\cos }^2}A}  = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{{5\sqrt {13} }}} \right)}^2}}  = \frac{{18\sqrt {13} }}{{65}}\\ \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}.4\sqrt {13} .10.\frac{{18\sqrt {13} }}{{65}} = 72.\end{array}\)

Chọn  D