Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 3 - Bài 6 - Chương 2 - Hình học 9

Đề bài

Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ các tiếp tuyến tại A và B với nửa đường tròn. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B) kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến tại A và B lần lượt tại C và D.

a. Chứng minh rằng : $CD = CA + BD$; $\widehat {COD} = 90^\circ$

b. Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.

Hướng dẫn giải

a. Ta có: $CA = CM, DB = DM$ (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà $CD = CM + DM$$\;⇒ CD = CA + BD$

Lại có CO và DO là các tia phân giác của các góc kề bù $\widehat {AOM}$ và $\widehat {BOM}$ nên $\widehat {COD} = 90^\circ$

b. Gọi I là trung điểm của CD, ta có: OI là đường trung tuyến của tam giác vuông COD nên $IO = IC = ID$.

hay OI là bán kính của đường tròn đường kính CD.

Dễ thấy tứ giác ABCD là hình thang vuông có OI là đường trung bình nên IO // AC và BD mà AC và BD cùng vuông góc với AB (gt)

$⇒ IO ⊥ AB.$ Chứng tỏ AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.