Bài 31 trang 116 SGK Toán 9 tập 1

Đề bài

Trên hình $82$, tam giác $ABC$ ngoại tiếp đường tròn $(O)$.

a) Chứng minh rằng:

$2AD=AB+AC-BC.$

b) Tìm các hệ thức tương tự hệ thức ở câu a).

Hướng dẫn giải

+) Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau để chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau: Nếu $AB,\ AC$ là hai tiếp tuyến của $(O)$ lần lượt tại $A,\ B$ thì ta có: $AB=AC$

+) Chu vi tam giác $ABC$ là $C_{\Delta{ABC}}=AB+AC+BC$

Lời giải chi tiết

a) Tam giác $ABC$ ngoại tiếp đường tròn tâm $O$ nên $AB,\ BC,\ AC$ lần lượt là tiếp tuyến tại $D,\ E,\ F$ của đường tròn.

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: 

$AD=AF;\ DB=BE;\ FC=CE.$

Xét vế phải:

$VP=AB+AC-BC$

$=(AD+DB)+(AF+FC)-(BE+EC)$

Thay $DB=BE,\ FC=CE$ vào biểu thức trên, ta được:

$VP=(AD+BE)+(AF+CE)-(BE+EC)$

$=AD+BE+AF+CE-BE-EC$

$=AD+AF+(BE-BE)+(CE-EC)$

$= AD+AF=2AD=VT.$ (Do $AD=AF)$

Vậy $2AD=AB+AC-BC.$

b) Các hệ thức tương tự là:

$2BD=BA+BC-AC;$

$2CF=CA+CB-AB.$

Nhận xét.

Đặt $p=\dfrac{AB+AC+BC}{2}$ là nửa chu vi của tam giác $ABC$, $AB=c;\ BC=a;\ CA=b$.

Ta có: $2AD=AB+AC-BC$

$=(AB+AC+BC)-2BC$

$\Leftrightarrow AD=\dfrac{AB+AC+BC}{2}-\dfrac{2BC}{2}$

$\Leftrightarrow AD=p-BC$ hay $AD=p-a$.

Tương tự ta có các kết quả sau:

$AD=AF=p-a;$

$BD=BE=p-b;$

$CE=CF=p-c$