Câu 14 trang 195 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hàm số $y = \left| x \right|$

a. Chứng minh rằng hàm số đã cho liên tục tại điểm x = 0

b. Tính đạo hàm của hàm số tại x = 0, nếu có.

c. Mệnh đề “Hàm số liên tục tại điểm x₀ thì có đạo hàm tại x₀ ” đúng hay sai ?

Hướng dẫn giải

a. Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left| x \right| = 0 = f\left( 0 \right)$

Vậy f liên tục tại x = 0

b. Ta có:

$\eqalign{  & \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{\left| x \right|} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x \over x} = 1  \cr  & \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {{\left| x \right|} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{ - x} \over x} =  - 1 \cr}$

Do đó không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)} \over x}$ nên hàm số f không có đạo hàm tại x = 0

c. Mệnh đề sai. Thật vậy, hàm số $f\left( x \right) = \left| x \right|$ liên tục tại điểm 0 (theo câu a) nhưng không có đạo hàm tại điểm đó (theo câu b).