Bài 9 trang 100 SGK Hình học 12

Đề bài

Trong không gian $Oxyz$ cho bốn điểm $A(2 ; 4 ; -1), B(1 ; 4 ; -1), C(2 ; 4; 3), D(2 ; 2 ; -1)$.

a) Chứng minh rằng các đường thẳng $AB, AC, AD$ vuông góc với nhau từng đôi một. Tính thể tích khối tứ diện $ABCD$.

b) Viết phương trình mặt cầu $(S)$ đi qua bốn điểm $A, B, C, D$.

c) Viết phương trình mặt phẳng $(α)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ và song song với mặt phẳng $(ABD)$.

Hướng dẫn giải

a) Ta xét các tích vô hướng $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}$; $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}$; $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD}$

$\Rightarrow {V_{ABCD}} = \frac{1}{6}AB.AC.AD$

b) Sử dụng phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, xác định tâm I và tính bán kính $R=IA$.

c) Xác định VTPT của mặt phẳng $\alpha$, viết phương trình mặt phẳng $\alpha$ khi biết VTPT.

$\alpha$ tiếp xúc với (S) $\Leftrightarrow d\left( {I;\left( \alpha  \right)} \right) = R$ với $I;R$ lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu (S).

Lời giải chi tiết

a) Ta xét các tích vô hướng $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}$; $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}$; $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD}$

Ta có: $\overrightarrow {AB} = (-1; 0; 0)$, $\overrightarrow {AC} = (0; 0; 4)$, $\overrightarrow {AD} = (0; 2; 0)$

$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = (-1).0 + 0.0 + 0.4 = 0\Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {AC}$

Các trường hợp còn lại chứng minh tương tự.

Ta có: $V_{ABCD}$ =${1 \over 3}.{1 \over 2}.AB.AC.AD$

Ta tính được: $AB = 1; AC = 4; AD = 2$

$\Rightarrow {V_{ABCD}} = {1 \over 6}.1.4.2 = {4 \over 3}$(đtdt)

b) Gọi $I(a; b; c)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$.

$IA = IB = IC$  $\Rightarrow I$ nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ACD$. Tam giác $ACD$ vuông tại đỉnh $A$ nên trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ACD$ là đường thẳng vuông góc với mp $(ACD)$ và đi qua trung điểm $M$ của cạnh huyền $CD$.

Như vậy $MI // AB$                       (1)

Ta lại có $IA = IB$. Gọi $P$ là trung điểm của $AB$, ta có:

$MI = AP$ = ${1 \over 2}AB$                        (2)

Từ (1) và (2), suy ra $\overrightarrow {MI}  = {1 \over 2}\overrightarrow {AB}$

Với $C (2; 4; 3), D (2; 2; -1)$ $\Rightarrow M (2; 3; 1)$

$\overrightarrow {MI}= (a - 2; b - 3; c - 1); \overrightarrow {AB}  = (-1; 0; 0)$

$\left\{ \matrix{ a - 2 = {1 \over 2}( - 1) \Rightarrow a = {3 \over 2} \hfill \cr b - 3 = {1 \over 2}.0 \Rightarrow b = 3 \hfill \cr c - 1 = {1 \over 2}.0 \Rightarrow c = 1 \hfill \cr} \right.$

Tâm $I$ của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ là $I$$\left( {{3 \over 2};3;1} \right)$

Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ là $r$ thì:

$r^2 = IA^2$ =${\left( {2 - {3 \over 2}} \right)^2} + {(4 - 3)^2} + {( - 1 - 1)^2} = {{21} \over 4}$

Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$:

${\left( {x - {3 \over 2}} \right)^2} + {(y - 3)^2} + {(z - 1)^2} = {{21} \over 4}$

c) Ta cũng có $AC ⊥ (ABD)$. Mặt phẳng $(α)$ song song với mặt phẳng $(ABD)$ nên nhận $\overrightarrow {AC}$ làm vectơ pháp tuyến.

Ta có $\overrightarrow {AC}  = (0; 0; 4)$ nên phương trình mặt phẳng $(α)$ có dạng $z + D = 0$.

Khoảng cách từ tâm $I$ của mặt cầu đến mặt phẳng $(α)$ là:

$d(I,(α)) ={{\left| {1 + D} \right|} \over 1} = \left| {1 + D} \right|$

Để mặt phẳng $(α)$ tiếp xúc với mặt cầu, ta cần có:

$d(I,(α)) = r \Rightarrow \left| {1 + D} \right| = {{\sqrt {21} } \over 2}$

Ta có hai mặt phẳng:

TH1: $1 + D ={{\sqrt {21} } \over 2} \Rightarrow D = {{\sqrt {21} } \over 2} - 1$

$\Rightarrow \left( {{\alpha _1}} \right):z + {{\sqrt {21} } \over 2} - 1 = 0$

TH2: $1 + D = - {{\sqrt {21} } \over 2} \Rightarrow D =  - {{\sqrt {21} } \over 2} - 1$

$\Rightarrow \left( {{\alpha _2}} \right):z - {{\sqrt {21} } \over 2} - 1 = 0$