Bài 8 trang 100 SGK Hình học 12

Đề bài

Trong không gian $Oxyz$ cho các điểm $A(1; 0 ; -1), B(3 ; 4 ; -2), C(4 ; -1; 1), D(3 ; 0 ;3)$.

a) Chứng minh rằng $A, B, C, D$ không đồng phẳng.

b) Viết phương trình mặt phẳng $(ABC)$ và tính khoảng cách từ $D$ đến $(ABC)$.

c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$.

d) Tính thể tích tứ diện $ABCD$.

Hướng dẫn giải

a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và chứng minh $D \notin \left( {ABC} \right)$.

b) Sử dụng công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng.

Khoảng cách từ điểm $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ đến mặt phẳng $\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\,\,\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2} > 0} \right)$ là: $d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$

c) Gọi phương trình tổng quát của mặt cầu là ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0$.

Thay tọa độ các điểm A, B, C, D vào phương trình mặt cầu trên, suy ra được hệ 4 phương trình 4 ẩn A, B, C, D. Giải hệ phương trình sau đó suy ra phương trình mặt cầu.

d) ${V_{ABCD}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|$

Lời giải chi tiết

a) Ta có $\overrightarrow {AB} = (2; 4; -1)$, $\overrightarrow {AC} = (3; -1; 2)$

Ta có: $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] =  (7; -7; -14)=7(1;-1;-2)$

Gọi $\overrightarrow n$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABC)$ $\Rightarrow \overrightarrow n  = \left( {1; - 1; - 2} \right)$

Khi đó phương trình mp $(ABC)$: $(x - 1) - (y - 0) -2(z + 1) = 0$

$\Leftrightarrow x - y - 2z - 3 = 0$.

Thay tọa độ điểm D vào phương trình mặt phẳng (ABC) ta có: $3 - 0 - 2.3 - 3 =  - 6 \ne 0 \Rightarrow D \notin \left( {ABC} \right)$.

Vậy $A, B, C, D$ không đồng phẳng.

b) $d(D, (ABC))$ =${{\left| {1.3 - 0 - 2.3 - 3} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} }} = {6 \over {\sqrt 6 }} = \sqrt 6$

c) Phương trình tổng quát của mặt cầu:

${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0$

Mặt cầu đi qua $A(1; 0; -1)$ ta có:

${1^2} + {0^2} + {( - 1)^2} + 2A - 2C + D = 0$

$\Leftrightarrow 2A - 2C + D + 2 = 0$(1)

Tương tự, mặt cầu đi qua $B, C, D$ cho ta các phương trình:

$6A + 8B - 4C + D + 29 = 0$                         (2)

$8A - 2B + 2C + D + 18 = 0$                         (3)

$6A  + 6C + D + 18 = 0$                                    (4)

Hệ bốn phương trình (1), (2), (3), (4) cho ta: $A = -3; B =- 2; C = {-1 \over 2}; D = 3$.

Vậy hương trình mặt cầu đi qua bốn điểm $A, B, C, D$ là: ${x^2} + {y^2} + {z^2} -6 x - 4y - z +3 = 0$

d) Ta có: $\overrightarrow {AD}  = \left( {2;0;4} \right)$

$\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD}  = 7.2 - 7.0 - 14.4 =  - 42$

Vậy ${V_{ABCD}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| = \frac{1}{6}.42 = 7$