Bài 5 trang 50 SGK Hình học 12

Đề bài

Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của đỉnh $A$ xuống mặt phẳng $(BCD)$.

a) Chứng minh $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCD$. Tính độ dài đoạn $AH$.

b) Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối trụ có đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác $BCD$ và chiều cao $AH$.

Hướng dẫn giải

a) Chứng minh $\Delta AHB = \Delta AHC = \Delta AHD$ và suy ra $HB = HC = HD$.

Sử dụng định lí Pitago tính độ dài đoạn $AH$.

b) Sử dụng các công thức diện tích xung quanh và thể tích khối trụ: ${S_{xq}} = 2\pi rh,\,\,V = \pi {r^2}h$, trong đó $r,h$ lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của khối trụ.

Lời giải chi tiết

a) Ta biết rằng tứ diện đều là tứ diện có $6$ cạnh đều bằng nhau.

Kẻ $AH \bot (BCD)$ ta có: $\Delta AHB = \Delta AHC = \Delta AHD$ (cạnh huyền - canh góc vuông)

$\Rightarrow HB = HC = HD$ (các cạnh tương ứng).

Vậy $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều $BCD$.

Gọi $I$ là trung điểm của $CD$. Do $\Delta BCD$ nên $BI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

$\Rightarrow BH = {2 \over 3}BI = {{a\sqrt 3 } \over 3}$;

Do tam giác $ABH$ vuông tại $H$ nên : $A{H^2} = A{B^2} - B{H^2}={a^2} - {{{a^2}} \over 3} = {2 \over 3}{a^2}$ .

Vậy $AH = {{\sqrt 6 } \over 3}a$

b) Vì tam giác $BCD$ đều cạnh $a$, nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là $r = BH = {{a\sqrt 3 } \over 3}$, cũng chính là bán kính đáy của khối trụ. Vì vậy diện tích xung quanh của hình trụ là:

$S = 2\pi rh = 2\pi {{a\sqrt 3 } \over 3}.{{\sqrt 6 } \over 3}a = {{2\sqrt 2 } \over 3}\pi {a^2}$ (đtdt).

Thể tích khối trụ là: $V = \pi {r^2}h = \pi {{{a^2}} \over 3}.{{\sqrt 6 } \over 3}a = {{\sqrt 6 } \over 9}\pi {a^3}$ (đttt)