Bài 8 trang 52 SGK Hình học 12

Đề bài

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a$. Một hình nón có đỉnh là tâm của hình vuông $ABCD$ và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông $A'B'C'D'$. Diện tích xung quanh của hình nón đó là:

(A) ${{\pi {a^2}\sqrt 3 } \over 3}$                          (B) ${{\pi {a^2}\sqrt 2 } \over 2}$

(C) ${{\pi {a^2}\sqrt 3 } \over 2}$                          (D) ${{\pi {a^2}\sqrt 6 } \over 2}$

Hướng dẫn giải

Diện tích xung quanh của hình nón ${S_{xq}} = \pi rl$, trong đó $r;l$ lần lượt là bán kính đáy và độ dài đường sinh của hình nón.

Lời giải chi tiết

Vì $A'B'C'D'$ là hình vuông cạnh $a$ nên $A'C' = a\sqrt 2$.

Gọi $O'$ là tâm của hình vuông $A'B'C'D'$ thì $O'A' = \frac{1}{2}A'C' = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} = SA$

Xét tam giác vuông $SAA'$ có: $SA' = \sqrt {S{A^2} + AA{'^2}}  = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{2} + {a^2}}  = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$

Hình nón có đường sinh $l=SA'=\frac{{a\sqrt 6 }}{2}$ và và bán kính đáy $r=O'A'={{a\sqrt 2 } \over 2}$ nên có diện tích xung quanh là:

${S_{xq}} = \pi .{{a\sqrt 2 } \over 2}.{{a\sqrt 6 } \over 2} = {{\pi {a^2}\sqrt 3 } \over 2}$

Chọn (C).