Processing math: 100%
Đăng ký

Bài 5 trang 37 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Giải các phương trình sau:

a) cosx3sinx=2;  

b) 3sin3x4cos3x=5;

c) 2sinx+2cosx2=0;                          

d) 5cos2x+12sin2x13=0.

Hướng dẫn giải

Phương pháp giải phương trình bậc nhất đối với sin và cos: asinx+bcosx=c(a2+b2>0)

- Chia cả hai vế cho a2+b2, khi đó phương trình có dạng:

aa2+b2sinx+ba2+b2cosx=ca2+b2

- Đặt {aa2+b2=cosαba2+b2=sinα và sử dụng công thức sinxcosα+cosxsinα=sin(x+α) sau đó giải phương trình lượng giác cơ bản của sin.

Hoặc đặt {aa2+b2=sinαba2+b2=cosα và sử dụng công thức sinxsinα+cosxcosα=cos(xα) và giải phương trình lượng giác cơ bản của cos.

Lời giải chi tiết

a)cosx3sinx=212cosx32sinx=22cosxcosπ3sinxsinπ3=22cos(x+π3)=cosπ4[x+π3=π4+k2πx+π3=π4+k2π[x=π12+k2πx=7π12+k2π(kZ)

Vậy nghiệm của phương trình là x=π12+k2π  hoặc x=7π12+k2π(kZ).

b)3sin3x4cos3x=535sin3x45cos3x=1

Đặt {sinα=35cosα=45, phương trình trở thành

sin3xsinαcos3xcosα=1cos(3x+α)=13x+α=π+k2π3x=πα+k2πx=πα3+k2π3(kZ)  

Vậy nghiệm của phương trình là x=πα3+k2π3(kZ)  (Với sinα=35;cosα=45).

c)2sinx+2cosx2=012sinx+12cosx=12sinxsinπ4+cosxcosπ4=12cos(xπ4)=cosπ3[xπ4=π3+k2πxπ4=π3+k2π[x=7π12+k2πx=π12+k2π(kZ)

Vậy nghiệm của phương trình là x=7π12+k2π hoặc x=π12+k2π(kZ).

d)5cos2x+12sin2x13=0513cos2x+1213sin2x=1

Đặt {513=cosα1213=sinα , khi đó phương trình trở thành

cos2xcosα+sin2xsinα=1cos(2xα)=12xα=k2πx=α2+kπ(kZ)

Vậy nghiệm của phương trình là x=α2+kπ(kZ) với sinα=1213;cosα=513.