Bài 5 trang 37 SGK Đại số và Giải tích 11
Đề bài
Giải các phương trình sau:
a) cosx−√3sinx=√2;
b) 3sin3x−4cos3x=5;
c) 2sinx+2cosx−√2=0;
d) 5cos2x+12sin2x−13=0.
Hướng dẫn giải
Phương pháp giải phương trình bậc nhất đối với sin và cos: asinx+bcosx=c(a2+b2>0)
- Chia cả hai vế cho √a2+b2, khi đó phương trình có dạng:
a√a2+b2sinx+b√a2+b2cosx=c√a2+b2
- Đặt {a√a2+b2=cosαb√a2+b2=sinα và sử dụng công thức sinxcosα+cosxsinα=sin(x+α) sau đó giải phương trình lượng giác cơ bản của sin.
Hoặc đặt {a√a2+b2=sinαb√a2+b2=cosα và sử dụng công thức sinxsinα+cosxcosα=cos(x−α) và giải phương trình lượng giác cơ bản của cos.
Lời giải chi tiết
a)cosx−√3sinx=√2⇔12cosx−√32sinx=√22⇔cosxcosπ3−sinxsinπ3=√22⇔cos(x+π3)=cosπ4⇔[x+π3=π4+k2πx+π3=−π4+k2π⇔[x=−π12+k2πx=−7π12+k2π(k∈Z)
Vậy nghiệm của phương trình là x=−π12+k2π hoặc x=−7π12+k2π(k∈Z).
b)3sin3x−4cos3x=5⇔35sin3x−45cos3x=1
Đặt {sinα=35cosα=45, phương trình trở thành
sin3xsinα−cos3xcosα=1⇔cos(3x+α)=−1⇔3x+α=π+k2π⇔3x=π−α+k2π⇔x=π−α3+k2π3(k∈Z)
Vậy nghiệm của phương trình là x=π−α3+k2π3(k∈Z) (Với sinα=35;cosα=45).
c)2sinx+2cosx−√2=0⇔1√2sinx+1√2cosx=12⇔sinxsinπ4+cosxcosπ4=12⇔cos(x−π4)=cosπ3⇔[x−π4=π3+k2πx−π4=−π3+k2π⇔[x=7π12+k2πx=−π12+k2π(k∈Z)
Vậy nghiệm của phương trình là x=7π12+k2π hoặc x=−π12+k2π(k∈Z).
d)5cos2x+12sin2x−13=0⇔513cos2x+1213sin2x=1
Đặt {513=cosα1213=sinα , khi đó phương trình trở thành
cos2xcosα+sin2xsinα=1⇔cos(2x−α)=1⇔2x−α=k2π⇔x=α2+kπ(k∈Z)
Vậy nghiệm của phương trình là x=α2+kπ(k∈Z) với sinα=1213;cosα=513.