Bài 40 trang 213 SGK Đại số 10 Nâng cao

Đề bài

Chứng minh rằng:

a) $\sin \alpha  + \cos \alpha  = \sqrt 2 \sin (\alpha  + {\pi  \over 4})$

b) $\sin \alpha  - \cos \alpha  = \sqrt 2 \sin (\alpha  - {\pi  \over 4})$

c) $\tan ({\pi  \over 4} - \alpha ) = {{1 - \tan \alpha } \over {1 + \tan \alpha }}\,\,(\alpha  \ne {\pi  \over 2} + k\pi ;\,\,\alpha  \ne {{3\pi } \over 4} + k\pi )$

d) $\tan ({\pi  \over 4} + \alpha ) = {{1 + \tan \alpha } \over {1 - \tan \alpha }}\,\,(\alpha  \ne {\pi  \over 2} + k\pi ;\,\,\alpha  \ne {\pi  \over 4} + k\pi )$

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$\eqalign{ & \sqrt 2 \sin (\alpha + {\pi \over 4}) = \sqrt 2 (\sin \alpha \cos {\pi \over 4} + \sin {\pi \over 4}\cos \alpha ) \cr & = \sqrt 2 (\sin \alpha {{\sqrt 2 } \over 2} + {{\sqrt 2 } \over 2}\cos \alpha ) \cr & = \sin \alpha + \cos \alpha \cr}$ 

b) Ta có:

$\eqalign{ & \sqrt 2 \sin (\alpha - {\pi \over 4}) = \sqrt 2 (\sin \alpha \cos {\pi \over 4} - \sin {\pi \over 4}\cos \alpha ) \cr & = \sin\alpha - \cos \alpha \cr}$ 

c) Ta có:

$\tan ({\pi  \over 4} - \alpha ) = {{\tan {\pi  \over 4} - \tan \alpha } \over {1 + \tan {\pi  \over 4}\tan \alpha }} = {{1 - \tan \alpha } \over {1 + \tan \alpha }}\,$

d) Ta có:

$\tan ({\pi  \over 4} + \alpha ) = {{\tan {\pi  \over 4} + \tan \alpha } \over {1 - \tan {\pi  \over 4}\tan \alpha }} = {{1 + \tan \alpha } \over {1 - \tan \alpha }}\,\,$