Bài 4 trang 24 SGK Giải tích 12
Đề bài
Tính giá trị lớn nhất của các hàm số sau:
a) y=41+x2; b) y=4x3−3x4
Hướng dẫn giải
Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y=f(x) trên đoạn [a; b] ta làm như sau :
+) Tìm các điểm x1; x2; x3;......; xn thuộc đoạn [a; b] mà tại đó hàm số có đạo hàm f′(x)=0 hoặc không có đạo hàm.
+) Tính f(x1); f(x2); f(x3);........; f(xn) và f(a); f(b).
+) So sánh các giá trị tìm được ở trên. Giá trị lớn nhất trong các giá trị đó chính là GTLN của hàm số y=f(x) trên [a; b] và giá trị nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của hàm số y=f(x) trên [a; b].
maxx∈[a; b]f(x)=max{f(x1); f(x2);.......; f(xm); f(a); f(b)}.minx∈[a; b]f(x)=min{f(x1); f(x2);.......; f(xm); f(a); f(b)}.
Quy ước : Nếu đề bài yêu cầu tìm GTLN và GTNN của hàm số y=f(x) nhưng không chỉ rõ tìm GTLN và GTNN trên tập nào thì ta hiểu là GTLN và GTNN trên tập xác định của hàm số y=f(x).
Lời giải chi tiết
a) y=41+x2.
Tập xác định: D=R.
Ta có: y′=−2x.4(1+x2)2=−8x(1+x2)2⇒y′=0⇔8x=0⇔x=0.
limx→±∞41+x2=0.
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt GTLN tại x=0; maxRy=4.
b) y=4x3−3x4.
Tập xác định: D=R.
Ta có: y′=12x2−12x3⇒y′=0⇔12x2−12x3=0⇔[x=0x=1.
limx→±∞y=limx→±∞(4x3−3x4)=−∞.
Ta có bảng biến thiên:
Theo bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt GTLN tại x=1; maxRy=1.