Bài 2 trang 24 SGK Giải tích 12

Đề bài

Trong số các hình chữ nhật cùng có chu vi $16 cm$, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.

Hướng dẫn giải

Cho hình chữ nhật có chiều dài là x và chiều rộng là y.

+) Chu vi của hình chữ nhật đó là: $P=2\left( x+y \right).$

+) Diện tích của hình chữ nhật đó là: $S=xy.$

Biểu diễn chiều dài theo chiều rộng bởi hàm số $y=f\left( x \right)$. Sau đó tìm chiều rộng để diện tích của hình chữ nhật đó lớn nhất bằng cách xét hàm số $S\left( x \right)$. Từ đó ta tìm được chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật.  

Lời giải chi tiết

Gọi chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật lần lượt là  $x;\ y\ \left( cm \right),\left( 0< x; y < 8 \right).$

Theo đề bài ta có chu vi của hình chữ nhật là $16cm.$

Khi đó ta có: $2\left( x+y \right)=16\Leftrightarrow x+y=8\Leftrightarrow y=8-x.$

$\Rightarrow$ Diện tích của hình chữ nhật đó là: $S=xy=x\left( 8-x \right)=8x-{{x}^{2}}.$

Xét hàm số: $S\left( x \right)=8x-{{x}^{2}}$ trên $\left( 0;\ \ 8 \right)$ ta có:

$S'\left( x \right)=8-2x\Rightarrow S'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=4.$

Ta có: $S\left( 0 \right)=0;\ \ S\left( 4 \right)=16;\ \ S\left( 8 \right)=0.$

$\Rightarrow \underset{\left( 0;\ 8 \right)}{\mathop{Max}}\,S\left( x \right)=16\ \ khi\ \ x=4.$

$\Rightarrow y=8-x=4\ \ \left( tm \right).$

Vậy hình chữ nhật có diện tích nhỏ nhất là hình vuông có cạnh là $4cm.$