Bài 30 trang 54 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm theo m.

a) ${x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}m{\rm{ }} = {\rm{ }}0$;                       

b) ${x^2}-{\rm{ }}2\left( {m{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)x{\rm{ }} + {\rm{ }}{m^2} = {\rm{ }}0$

Hướng dẫn giải

+) Phương pháp tìm m để phương trình có nghiệm: Cho phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)$, điều kiện để phương trình có nghiệm là: $\Delta  \ge 0\,\,\left( {\Delta ' \ge 0} \right)$

Trong đó $\Delta  = {b^2} - 4ac;\,\,\Delta ' = b{'^2} - ac;\,b' = \frac{b}{2}$

+) Tính tổng và tích các nghiệm:

Nếu ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)$ thì

$\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a}\\ {x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} \end{array} \right.$

Lời giải chi tiết

a) Phương trình ${x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}m{\rm{ }} = {\rm{ }}0$ có nghiệm khi $\Delta '{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }} - {\rm{ }}m{\rm{ }} \ge {\rm{ }}0$ hay khi $m ≤ 1$

Khi đó ${x_{1}} + {\rm{ }}{x_{2}} = {\rm{ }}2$, ${\rm{ }}{x_{1}}.{\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }}m$

b) Phương trình ${x^2}-{\rm{ }}2\left( {m{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)x{\rm{ }} + {\rm{ }}{m^2} = {\rm{ }}0$ có nghiệm khi

  $\Delta '{\rm{ }} = {\rm{ }}{m^{2}} - {\rm{ }}2m{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }}-{\rm{ }}{m^2} = {\rm{ }}1{\rm{ }}-{\rm{ }}2m{\rm{ }} \ge {\rm{ }}0$ 

hay khi $m  ≤$ $\frac{1}{2}$

Khi đó ${x_{1}} + {\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }}2\left( {m{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)$, ${\rm{ }}{x_{1}}.{\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }}{m^2}$