Bài 3 trang 92 SGK Hình học 12

Đề bài

Trong hệ toạ độ $Oxyz$, cho bốn điểm $A(-2 ; 6 ; 3), B(1 ; 0 ; 6), C(0; 2 ; -1), D(1 ; 4 ; 0)$.

a) Viết phương trình mặt phẳng $(BCD)$. Suy ra $ABCD$ là một tứ diện.

b) Tính chiều cao $AH$ của tứ diện $ABCD$.

c) Viết phương trình mặt phẳng $(α)$ chứa $AB$ và song song với $CD$.

 

Hướng dẫn giải

a) Mặt phẳng $(BCD)$ đi qua $B$ và nhận $\overrightarrow a  = \left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right]$ là 1 VTPT. Chứng minh ABCD là tứ diện bằng cách chứng minh $A \notin \left( {BCD} \right)$

b) $AH = d\left( {A;\left( {BCD} \right)} \right)$

c) ${\overrightarrow n _{\left( \alpha  \right)}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right]$ là 1 VTPT của mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\alpha)$ đi qua A.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $\overrightarrow {BC} = (-1; 2; -7)$,  $\overrightarrow {BD}= (0; 4; -6)$

Xét vectơ $\overrightarrow a  = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right]$    $\Rightarrow \overrightarrow a  = (16; - 6; - 4) = 2(8; - 3; - 2)$

Mặt phẳng $(BCD)$ đi qua $B$ và nhận $\overrightarrow {a'}  = (8; -3; -2)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình:

$8(x - 1) -3y - 2(z - 6) = 0$ $\Leftrightarrow  8x - 3y - 2z + 4 = 0$

Thay toạ độ của $A$ vào phương trình của $(BC)$ ta có:

$8.(-2) - 3.6 - 2.3 + 4 = -36 ≠ 0$

Điều này chứng tỏ điểm $A$ không thuộc mặt phẳng $(BCD)$ hay bốn điểm $A, B, C, D$ không đồng phẳng, và $ABCD$ là một tứ diện.

b) Chiều cao $AH$ của tứ diện chính là khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(BCD)$:

$AH = d(A,(BCD))$ = ${{\left| {8.( - 2) - 3.6 - 2.3 + 4} \right|} \over {\sqrt {{8^2} + {{( - 3)}^2} + {{( - 2)}^2}} }} = {{36} \over {\sqrt {77} }}$

c) Ta có: $\overrightarrow {AB}  = (3; - 6; 3)$, $\overrightarrow {CD}  = ( 1; 2; 1)$

Mặt phẳng $(α)$ chứa $AB$ và $CD$ chính là mặt phẳng đi qua $A(-2; 6; 3)$ và nhận cặp vectơ $\overrightarrow {AB}$, $\overrightarrow {CD}$ làm cặp vectơ chỉ phương, có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right]$

Ta có: $\overrightarrow {AB}  = \left( {3; - 6;3} \right);\,\,\overrightarrow {CD}  = \left( {1;2;1} \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow n$ = $(-12; 0; 12) = -12(1; 0; -1)$

Vậy phương trình của $(α)$ là:

$1(x + 2) + 0(y - 6) - 1(z - 3) = 0$$\Leftrightarrow x - z + 5 = 0$