Bài 3 trang 84 SGK Giải tích 12

Đề bài

Giải các phương trình logarit

a) ${lo{g_3}\left( {5x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_3}\left( {7x{\rm{ }} + {\rm{ }}5} \right)}$

b) ${log\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}log\left( {2x{\rm{ }}-{\rm{ }}11} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}log{\rm{ }}2}$

c) ${lo{g_2}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}5} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}lo{g_2}\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}3}$

d) ${log{\rm{ }}\left( {{x^2}-{\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}7} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}log{\rm{ }}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)}$

Hướng dẫn giải

Các bước giải phương trình logarit:

+) Tìm điều kiện xác định.

+) Sử dụng các phương pháp tương ứng để giải phương trình (có các phương pháp: đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ, mũ hóa….).

+) Giải phương trình để tìm ẩn và so sánh với điều kiện xác định rồi kết luận nghiệm của phương trình.

Bài toán này chủ yếu sử dụng phương pháp đưa về cùng cơ số:   ${\log _a}f\left( x \right) = {\log _a}g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f\left( x \right) > 0\\ g\left( x \right) > 0\\ f\left( x \right) = g\left( x \right)\end{array} \right..$

Lời giải chi tiết

a) ${lo{g_3}\left( {5x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_3}\left( {7x{\rm{ }} + {\rm{ }}5} \right)}$ (1)

TXĐ: $D = \left( {{{ - 3} \over 5}, + \infty } \right)$

Khi đó: (1) $⇔ 5x + 3 = 7x + 5 ⇔2x=-2 ⇔ x = -1$ (loại)

Vậy phương trình (1) vô nghiệm.

b) ${log\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}log\left( {2x{\rm{ }}-{\rm{ }}11} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}log{\rm{ }}2}$

TXĐ: $D = \left( {\frac{{11}}{2}; + \infty } \right).$

Khi đó:

$\eqalign{ & (2) \Leftrightarrow \lg {{x - 1} \over {2x - 11}} = \lg 2 \Leftrightarrow {{x - 1} \over {2x - 11}} = 2 \cr & \Rightarrow x - 1 = 4x - 22  \Leftrightarrow 3x=21 \Leftrightarrow x = 7 \cr}$

Ta thấy $x = 7$ thỏa mãn điều kiện.

Vậy phương trình có nghiệm là $x = 7.$

c) ${lo{g_2}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}5} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}lo{g_2}\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}3}$ (3)

TXĐ: $(5, +∞)$

Khi đó:

$(3) \, \Leftrightarrow {\log _2}(x - 5)(x + 2)=3$

$\Leftrightarrow \left( {x - 5} \right)(x + 2) = 2^3$ 

$\Leftrightarrow {x^2} - 3x - 18 = 0  \\ \Leftrightarrow (x-6)(x+3)=0 \\ \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x - 6=0 \hfill \cr  x + 3=0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 6 \, \, (tm) \hfill \cr x = - 3 \, \,(ktm) \hfill \cr} \right.$

Vậy phương trình có nghiệm $x = 6$

d) ${log{\rm{ }}\left( {{x^2}-{\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}7} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}log{\rm{ }}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)}$ (4)

TXĐ: $D = (3 + \sqrt 2 , + \infty )$

Khi đó:

$\begin{array}{l} \left( 4 \right) \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 7 = x - 3\\ \Leftrightarrow {x^2} - 7x + 10 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 5} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x - 5 = 0\\ x - 2 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 5\;\;\left( {tm} \right)\\ x = 2\;\;\left( {ktm} \right) \end{array} \right.. \end{array}$

Vậy phương trình (4) có nghiệm là $x = 5$.