Bài 2 trang 34 SGK Hình học 11

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho điểm $A(-1;2)$ và đường thẳng $d$ có phương trình $3x + y+ 1= 0$. Tìm ảnh của $A$ và $d$

a) Qua phép tịnh tiến theo vectơ $v = (2;1)$

b) Qua phép đối xứng qua trục $Oy$

c) Qua phép đối xứng qua gốc tọa độ

d) Qua phép quay tâm $O$ góc $90^{\circ}$

Hướng dẫn giải

a) ${T_{\overrightarrow v }}\left( A \right) = A' \Rightarrow \overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow v$.

Ảnh của đường thẳng qua 1 phép tịnh tiến là một đường thẳng song song với đường thẳng ban đầu.

b) +) Phép đối xứng trục Oy biến điểm $A\left( {x;y} \right)$ thành điểm $A'\left( { - x;y} \right)$.

+) Tìm ảnh của đường thẳng d, ta lấy hai điêm A, B bất kì thuộc đường thẳng d, tìm ảnh A'; B' của hai điểm A, B qua phép đối xứng trục Oy, khi đó ảnh của đường thẳng d chính là đường thẳng A'B'.

c) +) Phép đối xứng qua gốc tọa độ biến $A\left( {x;y} \right)$  thành $A'\left( { - x;-y} \right)$.

+) Ảnh của đường thẳng qua phép đối xứng là 1 đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

d) Sử dụng biểu thức tọa độ của phép quay tâm O góc quay $\alpha$ tìm ảnh của điểm A(x;y) là: $\left\{ \begin{array}{l}x' = x\cos \alpha - y\sin \alpha \\y' = x\sin \alpha + y\cos \alpha \end{array} \right.$

+) Ảnh của đường thẳng d qua phép quay tâm O góc $90^0$ là đường thẳng vuông góc với d.

Lời giải chi tiết

Gọi A’, d’ lần lượt là ảnh của A và d qua các phép biến hình. Dễ dàng kiểm tra được $A \in d$

a) ${T_{\overrightarrow v }}\left( A \right) = A' \Rightarrow \overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow v  \Rightarrow \left\{ \matrix{  {x_{A'}} + 1 = 2 \hfill \cr   {y_{A'}} - 2 = 1 \hfill \cr}  \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {x_{A'}} = 1 \hfill \cr   {y_{A'}} = 3 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow A'\left( {1;3} \right)$

Đường thẳng d’ là ảnh của d qua ${T_{\overrightarrow v }} \Rightarrow d'//d \Rightarrow$ phương trình đường thẳng d’ có dạng: $3x + y + c = 0\,\,\left( {c \ne 1} \right)$

$A\left( { - 1;2} \right) \in d;\,\,{T_{\overrightarrow v }}\left( A \right) = A'\left( {1;3} \right) \Rightarrow A' \in d'$ $\Rightarrow 3 + 3 + c = 0$.

$\Leftrightarrow c =  - 6\,\,\left( {tm} \right)$.

Vậy phương trình đường thẳng d’ là $3x + y - 6 = 0$.

b) ${D_{Oy}}\left( A \right) = A'\left( {1;2} \right)$

Lấy điểm $B\left( {0; - 1} \right) \in d \Rightarrow {D_{Oy}}\left( B \right) = B'\left( {0; - 1} \right)$.

Đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép đối xứng trục Oy $\Rightarrow d' \equiv A'B' \Rightarrow$ Phương trình đường thẳng d’ là:

${{x - 1} \over {0 - 1}} = {{y - 2} \over { - 1 - 2}} \Leftrightarrow 3x - 3 = y - 2 \Leftrightarrow 3x - y - 1 = 0$.

c) ${D_{\left( O \right)}}\left( A \right) = A'\left( {1; - 2} \right)$

Đường thẳng d’ là ảnh của d qua ${D_{\left( O \right)}} \Rightarrow d'//d \Rightarrow$ phương trình đường thẳng d’ có dạng: $3x + y + c = 0\,\,\left( {c \ne 1} \right)$

$A\left( { - 1;2} \right) \in d;\,\,{D_{\left( O \right)}}\left( A \right) = A'\left( {1; - 2} \right)$ $\Rightarrow A' \in d' \Rightarrow 3 - 2 + c = 0$

$\Leftrightarrow c =  - 1\,\,\left( {tm} \right)$.

Vậy phương trình đường thẳng d’ là $3x + y - 1 = 0$.

d) ${Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left( A \right) = A'\left( {x';y'} \right) \Rightarrow$ Tọa độ của điểm A là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \matrix{  x' =  - 1.\cos 90 - 2.\sin 90 =  - 2 \hfill \cr   y' =  - 1.\sin 90 + 2.\cos 90 =  - 1 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow A'\left( { - 2; - 1} \right)$

Đường thẳng d’ là ảnh của d qua ${Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}} \Rightarrow d' \bot d \Rightarrow$ phương trình đường thẳng d’ có dạng: $x - 3y + c = 0$.

$A\left( { - 1;2} \right) \in d;\,\,{Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left( A \right) = A'\left( { - 2; - 1} \right)$ $\Rightarrow A' \in d' \Rightarrow  - 2 - 3\left( { - 1} \right) + c = 0 .$

$\Leftrightarrow c =  - 1$.

Vậy phương trình đường thẳng d’ là $x - 3y - 1 = 0$.