Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có SA = SB. Góc g...

A

- Hướng dẫn giải

Gọi độ dài cạnh của hình chóp đều S.ABCD là a. Gọi I là trung điểm của SB ta có $DI \bot SB$ (vì tam giác SAB đều) và  (vì tam giác  đều). Vậy, góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) chính là góc $\widehat {AID}$.

Ta có : $AD = a\sqrt 2$ (đường chéo hình vuông), $AI = DI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$ (đường cao tam giác đều)

Áp dụng định lý cosin cho góc I trong tam giác AID ta có :

$cos(\widehat {AID}) = \frac{{A{I^2} + D{I^2} - A{D^2}}}{{2AD.DI}} = \frac{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}}{{2.\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right).\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}} = - \frac{1}{3}$

Vậy $\cos \alpha = - \frac{1}{3}$