Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C', khoảng cách từ C đế...

A

- Hướng dẫn giải

Gọi N là trung điểm BC. Kẻ $AE \bot BB'$ tại E, $AF \bot CC'$ tại F.

Ta có $EF \cap MN = H$ nên H là trung điểm EF.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l} AE \bot AA'\\ AF \bot AA' \end{array} \right. \Rightarrow AA' \bot \left( {AEF} \right) \Rightarrow AA' \bot EF \Rightarrow EF \bot BB'$.

Khi đó $d\left( {A,BB'} \right) = AE = 1,d\left( {A,CC'} \right) = AF = \sqrt 3 ,d\left( {C,BB'} \right) = EF = 2$.

Nhận xét: $A{E^2} + A{F^2} = E{F^2}$ nên tam giác AEFF vuông tại A, suy ra $AH = \frac{{EF}}{2} = 1$.

Ta lại có $\left\{ \begin{array}{l} AA' \bot \left( {AEF} \right)\\ MN//AA' \end{array} \right. \Rightarrow MN \bot \left( {AEF} \right) \Rightarrow MN \bot AH$.

Tam giác AMN vuông tại A có đường cao AH nên $\frac{1}{{A{M^2}}}$ $= \frac{1}{{A{H^2}}} - \frac{1}{{A{N^2}}} = 1 - \frac{3}{4} \Rightarrow AM = 2$.

Mặt khác $\left\{ \begin{array}{l} \left( {AA'NM} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\ \left( {AA'NM} \right) \bot \left( {AEF} \right)\\ \left( {AA'NM} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AN\\ \left( {AA'NM} \right) \cap \left( {AEF} \right) = AH \end{array} \right. \Rightarrow$ Góc giữa mặt phẳng (ABC) và (AEF) là $\widehat {HAN}$.

Hình chiếu của tam giác ABC lên mặt phẳng (AEF) là tam giác AEF nên ${S_{\Delta AEF}} = {S_{\Delta ABC}}.\cos \widehat {HAN} \Rightarrow \frac{1}{2}AE.AF = {S_{\Delta ABC}}.\frac{{AH}}{{AN}} \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}.\frac{{AE.AF.AN}}{{AH}} = \frac{1}{2}.\frac{{1.\sqrt 3 .\frac{{2\sqrt 3 }}{3}}}{1} = 1$.

Vậy ${V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{\Delta ABC}}.AM = 2$.