Tích phân \(I = \int\limits...

C

- Hướng dẫn giải

Ta có: $\left( {3 + 3x - {x^2}} \right)' = 3 - 2x$ và $3 + 4x = 9 - 2\left( {3 - 2x} \right)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int\limits_0^1 {\frac{{3 + 4x}}{{\sqrt {3 + 2x - {x^2}} }}dx} \\ = \int\limits_0^1 {\frac{{7 - 2\left( {2 - 2x} \right)}}{{\sqrt {3 + 2x - {x^2}} }}dx} \\ = \int\limits_0^1 {\frac{7}{{\sqrt {3 + 2x - {x^2}} }}dx} - \int\limits_0^1 {\frac{{2\left( {2 - 2x} \right)}}{{\sqrt {3 + 2x - {x^2}} }}dx} \end{array}$

Xét ${I_1} = \int\limits_0^1 {\frac{7}{{\sqrt {3 + 2x - {x^2}} }}dx} = \int\limits_0^1 {\frac{7}{{\sqrt {4 - {{\left( {x - 1} \right)}^2}} }}dx}$.

Đặt $x - 1 = 2\sin t,t \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow dx = 2\cos tdt$.

Đổi cận $\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = - \frac{\pi }{6}\\x = 1 \Rightarrow t = 0\end{array} \right.$.

$\Rightarrow {I_1} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^0 {\frac{{14\cos t}}{{\sqrt {4 - 4{{\sin }^2}t} }}dt} = \frac{{7\pi }}{6}$.

Xét ${I_2} = \int\limits_0^1 {\frac{{2\left( {2 - 2x} \right)}}{{\sqrt {3 + 2x - {x^2}} }}dx}$.

Đặt $t = 3 + 2x - {x^2} \Rightarrow dt = \left( {2 - 2x} \right)dx$.

Đổi cận $\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 3\\x = 1 \Rightarrow t = 4\end{array} \right.$.

$\Rightarrow {I_2} = \int\limits_3^4 {\frac{2}{{\sqrt t }}dt} = 4\left. {\left( {{t^{\frac{1}{2}}}} \right)} \right|_3^4 = 4\left( {2 - \sqrt 3 } \right)$.

$I = {I_1} - {I_2} = \frac{{7\pi }}{6} + 4\sqrt 3 - 8$.