Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để h...

B

- Hướng dẫn giải

Ta có: $y = f\left( x \right) = {\sin ^3}x + 3{\sin ^2}x - m\sin x - 4\left( 1 \right)$ 

Đặt $t = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}$, do $x \in \left[ {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right] \Rightarrow t \in \left[ { - 1;0} \right]$ 

Hàm số (1) trở thành $y = g\left( t \right) = {t^3} + 3{t^2} - mt - 4\left( 2 \right)$

Hàm số (1) đồng biến trên $\left[ {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right]$ khi và chỉ khi hàm số (2) nghịch biến trên [-1;0]$\Leftrightarrow g'\left( t \right) \le 0,\forall t \in \left[ { - 1;0} \right]$ (g'(t)=0 tại hữu hạn điểm)

Hàm số $y = g\left( t \right) = {t^3} + 3{t^2} - mt - 4$ trên [-1;0], ta có $g'\left( t \right) = 3{t^2} + 6t - m$

Suy ra:

$\begin{array}{l} g'\left( t \right) \le 0,\forall t \in \left[ { - 1;0} \right]\\  \Leftrightarrow 3{t^2} + 6t - m \le 0,\forall t \in \left[ { - 1;0} \right]\\ 3{t^2} + 6t \le m,\forall t \in \left[ { - 1;0} \right] \end{array}$

Xét hàm số \[y = h\left( t \right) = 3{t^2} + 6t\) trên đoạn [-1;0]

Ta có $h'\left( t \right) = 6t + 6 \ge 0,\forall t \in \left[ { - 1;0} \right]$ suy ra h(t) đồng biến trên [-1;0]

$\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} h\left( t \right) = h\left( 0 \right) = 0$

Tức $g'\left( t \right) \le 0,\forall t \in \left[ { - 1;0} \right] \Leftrightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} h\left( t \right) \le m,\forall t \in \left[ { - 1;0} \right]$. Do đó có $m \ge 0$

Hàm số (1) đồng biến trên $\left[ {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right]$ khi và chỉ khi $m \in \left[ {0; + \infty } \right)$