Lấy ngẫu nhiên hai số từ tập \(A = \left\{ {1;2;3;...

B

- Hướng dẫn giải

Xét phép thử T: “Lấy ngẫu nhiên hai số từ tập A ”.

Suy ra $n\left( \Omega \right) = {\rm{C}}_{2020}^2$.

Xét biến cố

 B: “Lấy hai số từ tập A sao cho tổng bình phương hai số đó chia hết cho 5”.

Tập A có 404 số chia hết cho 5; 404 số chia 5 dư 1;  404 số chia 5 dư 2; 404 số chia 5 dư 3;  404 số chia 5 dư 4.     

Ta có ${\left( {5k} \right)^2} = 25{k^2}\, \vdots \,5$;

           ${\left( {5k + 1} \right)^2} = 25{k^2} + 10k + 1 \equiv 1\left( {\bmod 5} \right)$;

          ${\left( {5k + 2} \right)^2} = 25{k^2} + 20k + 4 \equiv 4\left( {\bmod 5} \right)$;

          ${\left( {5k + 3} \right)^2} = 25{k^2} + 30k + 9 \equiv 4\left( {\bmod 5} \right)$;

          ${\left( {5k + 4} \right)^2} = 25{k^2} + 40k + 16 \equiv 1\left( {\bmod 5} \right)$.

Do vậy có các trường hợp sau:

TH1: Hai số được chọn cùng chia hết cho  5.Suy ra  có $C_{404}^2$ cách chọn.

TH2: Một số chia 5 dư 1 và một số chia 5 dư  2.Suy ra có $404 \cdot 404 = {404^2}\;$cách chọn.

TH3: Một số chia 5 dư 1 và một số chia 5 dư 3.Suy ra có $404 \cdot 404 = {404^2}\;$ cách chọn.

TH4: Một số chia 5 dư 4 và một số chia 5 dư 2.Suy ra có $404 \cdot 404 = {404^2}\;$cách chọn.

TH5: Một số chia 5 dư 4 và một số chia 5 dư  3. Suy ra có $404 \cdot 404 = {404^2}\;$cách chọn.

Suy ra $n\left( B \right) = {\rm{C}}_{404}^2 + 4 \cdot {404^2}$.

Vậy xác suất để chọn được hai số có tổng bình phương chia hết cho 5 là

 $P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{{\rm{C}}_{404}^2 + 4 \cdot {{404}^2}}}{{{\rm{C}}_{2020}^2}} = \frac{{727}}{{2019}}$.