Tích phân \(I= \int\limits_...

C

- Hướng dẫn giải

Ta biến đổi: $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{9{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{{{\cos }^2}x\left( {9 - {{\tan }^2}x} \right)}}dx}$.

Nhận thấy: $\left( {\tan x} \right)' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$. Ta dùng đổi biến số.

Đặt $t = \tan x \Rightarrow dt = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx$.

Đổi cận $\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \frac{\pi }{4} \Rightarrow t = 1\end{array} \right.$.

$I = \int\limits_0^1 {\frac{1}{{9 - {t^2}}}dt} = \frac{1}{6}\int\limits_0^1 {\left( {\frac{1}{{3 - t}} + \frac{1}{{3 + t}}} \right)dt} = \left. {\left( {\frac{1}{6}\ln \left| {\frac{{3 + t}}{{3 - t}}} \right|} \right)} \right|_0^1 = \frac{1}{6}\ln 2$