Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m...

D

- Hướng dẫn giải

TXĐ: $D = \left( {0; + \infty } \right)$. Ta có: $f'\left( x \right) = \ln x + \frac{{x + 1}}{x} + 2 - m$ 

Hàm số đồng biến trên $\left( {0;{e^2}} \right) \Leftrightarrow f'\left( x \right) \ge 0\,\,\,\forall x \in \left( {0;{e^2}} \right)$ và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

$\begin{array}{l}  \Leftrightarrow \ln x + \frac{{x + 1}}{x} + 2 - m \ge 0\,\,\,\forall x \in \left( {0;{e^2}} \right)\\  \Leftrightarrow g\left( x \right) = \ln x + \frac{{x + 1}}{x} + 2 \ge m\,\,\,\forall x \in \left( {0;{e^2}} \right)\\  \Leftrightarrow m < \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;{e^2}} \right]} g\left( x \right) \end{array}$ 

Xét hàm số: $g\left( x \right) = \,\,\ln x + \frac{{x + 1}}{x} + 2\left( {x > 0} \right)$ ta có:

$g'\left( x \right) = \frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} - x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\,\,(ktm)\\ x = 1 \end{array} \right.$ 

Ta có BBT:

Từ BBT $\Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;{e^2}} \right]} g\left( x \right) = 4 \Rightarrow m < 4$ 

Lại có:

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} m \in Z\\ m \in \left[ { - 2018;2018} \right] \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \in Z\\ m \in \left[ { - 2018;4} \right) \end{array} \right.\\  \Rightarrow m = \left\{ { - 2018; - 2017;...;2;3} \right\} \end{array}$ 

Vậy có 2022 giá trị của m thỏa mãn