Cho hàm số \(y = \frac{{x - 3}}{{{x^3} - 3m{x^2} +...

B

- Hướng dẫn giải

Ta có $y = \frac{{x - 3}}{{{x^3} - 3mx{}^2 + \left( {2{m^2} + 1} \right)x - m}}$ 

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{x - 3}}{{{x^3} - 3m{x^2} + \left( {2{m^2} + 1} \right)x - m}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{\frac{x}{{{x^3}}} - \frac{3}{{{x^3}}}}}{{1 - 3m\frac{{{x^2}}}{{{x^3}}} + \left( {2m{}^2 + 1} \right)\frac{x}{{x{}^3}} - \frac{m}{{{x^3}}}}} = 0$ nên y = 0 là tiệm ngang của đồ thị hàm số.

Vậy để đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận thì đồ thị hàm số phải có 3 đường tiệm cận đứng.

Hay phương trình ${x^3} - 3m{x^2} + \left( {2{m^2} + 1} \right)x - m = 0(1)$ có ba nghiệm phân biệt $x \ne 3.$ 

Ta có ${x^3} - 3m{x^2} + \left( {2{m^2} + 1} \right)x - m = 0 \Leftrightarrow \left( {x - m} \right)\left( {{x^2} - 2mx + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = m\\ {x^2} - 2mx + 1 = 0(*) \end{array} \right.$ 

Để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt khác 3 thì $m \ne 3$ và phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác m và khác 3.

Do đó $\left\{ \begin{array}{l} \Delta ' = {m^2} - 1 > 0\\ 3{}^2 - 2.m.3 + 1 \ne 0\\ {m^2} - 2{m^2} + 1 \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} m <  - 1\\ m > 1 \end{array} \right.\\ m \ne \frac{5}{3}\\ m \ne  - 1\\ m \ne 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} m <  - 1\\ m > 1 \end{array} \right.\\ m \ne \frac{5}{3} \end{array} \right.$ 

Kết hợp điều kiện $\left\{ \begin{array}{l} m \ne 3\\  - 6 \le m \le 6 \end{array} \right. \Rightarrow m \in \left\{ { - 6; - 5; - 4; - 3; - 2;2;4;5;6} \right\}$ 

Vậy có 9 giá trị của m thỏa mãn điều kiện