Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên R và \(\int\limi...

C

- Hướng dẫn giải

Xét $\int\limits_1^9 {\frac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}{\rm{d}}x = 4} .$ Đặt $t = \sqrt x  \Rightarrow {t^2} = x,$ suy ra $2t{\rm{d}}t = {\rm{d}}x.$

Đổi cận $\left\{ \begin{array}{l} x = 1 \to t = 1\\ x = 9 \to t = 3 \end{array} \right..$ Suy ra $4 = \int\limits_1^9 {\frac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}{\rm{d}}x}  = 2\int\limits_1^3 {f\left( t \right)2{\rm{d}}t}  \to \int\limits_1^3 {f\left( t \right){\rm{d}}t}  = 2.$

Xét $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\sin x} \right)\cos x{\rm{d}}x = 2} .$ Đặt $u = \sin x,$ suy ra ${\rm{d}}u = \cos x{\rm{d}}x.$

Đổi cận $\left\{ \begin{array}{l} x = 0 \to u = 0\\ x = \frac{\pi }{2} \to u = 1 \end{array} \right..$ Suy ra $2 = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\sin x} \right)\cos x{\rm{d}}x}  = \int\limits_0^1 {f\left( t \right){\rm{d}}t} .$

Vậy $I = \int\limits_0^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  + \int\limits_1^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 4.$